Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian, giúp bạn hiểu rõ hơn về vị trí tương quan giữa các mặt phẳng và phương trình biểu diễn chúng.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập vận dụng đa dạng để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách hiệu quả.
1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Vecto pháp tuyến
1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
a) Vecto pháp tuyến
| Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). |
b) Cặp vecto chỉ phương
| Cho mặt phẳng (P). Hai vecto không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P). |
c) Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương
| Nếu hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)\). |
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
| Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. |
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là: \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\). |
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\). |
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó. |
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
Phương trình mặt phẳng là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta mô tả và nghiên cứu các mặt phẳng trong không gian ba chiều. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phương trình mặt phẳng, bao gồm các khái niệm cơ bản, các dạng phương trình, và cách ứng dụng để giải các bài toán liên quan.
Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
Nếu M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc mặt phẳng và n = (a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, thì phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:
ax + by + cz + d = 0, trong đó d = -ax0 - by0 - cz0
Ngoài phương trình tổng quát, mặt phẳng còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác:
x = x0 + tu1 + sv1
y = y0 + tu2 + sv2
z = z0 + tu3 + sv3
trong đó t và s là các tham số thực.
x/a + y/b + z/c = 1
Xét hai mặt phẳng có phương trình:
(P1): a1x + b1y + c1z + d1 = 0
(P2): a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Vị trí tương quan giữa hai mặt phẳng được xác định dựa trên mối quan hệ giữa các vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1; c1) và n2 = (a2; b2; c2):
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2), ta có:
cos φ = |n1 . n2| / (|n1| |n2|)
Khoảng cách d từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 được tính theo công thức:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a2 + b2 + c2)
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết phương trình mặt phẳng, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
