Chương 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán - Toán 12 Cánh Diều

Chương 3 trong sách Toán 12 tập 1 - Cánh Diều đi sâu vào việc nghiên cứu các số đặc trưng đo mức độ phân tán của một mẫu số liệu. Đây là một phần quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến động và phân bố của dữ liệu.

1. Giới thiệu chung về mức độ phân tán

Mức độ phân tán là một khái niệm thống kê dùng để đo lường sự khác biệt giữa các giá trị trong một tập dữ liệu. Một tập dữ liệu có mức độ phân tán lớn cho thấy các giá trị của nó trải rộng, trong khi một tập dữ liệu có mức độ phân tán nhỏ cho thấy các giá trị của nó tập trung gần nhau hơn.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai là một trong những số đặc trưng quan trọng nhất để đo mức độ phân tán. Nó được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình của mẫu.

Công thức tính phương sai mẫu (s²) là:

s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là giá trị thứ i trong mẫu
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu
• n là số lượng giá trị trong mẫu

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cung cấp một thước đo về mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức tính độ lệch chuẩn mẫu (s) là:

s = √s²

4. Phân tán (Range)

Phân tán là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Đây là một thước đo đơn giản về mức độ phân tán, nhưng nó có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.

Công thức tính phân tán là:

R = X_max - X_min

5. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với dữ liệu được nhóm thành các khoảng, chúng ta cần sử dụng các công thức khác để tính toán phương sai và độ lệch chuẩn. Thay vì sử dụng giá trị thực tế của mỗi quan sát, chúng ta sử dụng trung điểm của mỗi khoảng.

Công thức tính phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm là:

s² = Σf_i(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• f_i là tần số của khoảng thứ i
• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
• n là tổng số quan sát

6. Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm soát chất lượng: Đánh giá sự đồng đều của sản phẩm.
• Phân tích tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
• Nghiên cứu khoa học: So sánh sự biến động của các nhóm dữ liệu khác nhau.

7. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10.

Giải:

1. Tính giá trị trung bình: x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
2. Tính phương sai: s² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / (5-1) = 8
3. Tính độ lệch chuẩn: s = √8 ≈ 2.83

Ví dụ 2: Cho bảng tần số sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Chương 3 cung cấp nền tảng vững chắc để hiểu và áp dụng các khái niệm thống kê quan trọng. Việc nắm vững các số đặc trưng đo mức độ phân tán sẽ giúp bạn phân tích dữ liệu một cách hiệu quả và đưa ra những quyết định sáng suốt.