Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ về các số đặc trưng đo mức độ phân tán là vô cùng quan trọng. Phương sai và độ lệch chuẩn là hai trong số những khái niệm cốt lõi giúp chúng ta đánh giá sự biến động của dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải Bài 2 trong SGK Toán 12 - Cánh diều, tập trung vào phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

I. Khái niệm cơ bản về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn số lượng học sinh đạt điểm trong các khoảng điểm khác nhau.

II. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (variance) là một số đo lường mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s² = Σ[(x_i - x̄)² * n_i] / (n - 1)

s²: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
x_i: Trung điểm của khoảng thứ i
x̄: Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
n_i: Tần số của khoảng thứ i
n: Tổng số lượng dữ liệu trong mẫu

Để tính phương sai, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính giá trị trung bình (x̄) của mẫu số liệu ghép nhóm.
Tính độ lệch của mỗi trung điểm khoảng (x_i - x̄).
Bình phương độ lệch [(x_i - x̄)²].
Nhân bình phương độ lệch với tần số tương ứng [(x_i - x̄)² * n_i].
Tính tổng của các tích này: Σ[(x_i - x̄)² * n_i].
Chia tổng này cho (n - 1) để được phương sai.

III. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng là một số đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s = √s²

Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

IV. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Khoảng	Tần số (n_i)
[10-20)	5
[20-30)	8
[30-40)	7

Trung điểm của các khoảng lần lượt là 15, 25, 35. Tổng số lượng dữ liệu là n = 5 + 8 + 7 = 20.

Giá trị trung bình (x̄) có thể được tính như sau: x̄ = (15*5 + 25*8 + 35*7) / 20 = 27.5

Phương sai (s²) được tính như sau: s² = [(15-27.5)²*5 + (25-27.5)²*8 + (35-27.5)²*7] / (20-1) = 68.75

Độ lệch chuẩn (s) được tính như sau: s = √68.75 ≈ 8.29

V. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Đánh giá rủi ro trong tài chính.
Kiểm soát chất lượng trong sản xuất.
Phân tích dữ liệu trong khoa học xã hội.
So sánh sự biến động của các tập dữ liệu khác nhau.

Hi vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm các bài toán khác để nắm vững kiến thức này nhé!