Phương sai và độ lệch chuẩn là những khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, việc hiểu rõ lý thuyết và cách tính toán phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế.
giaibaitoan.com cung cấp bài viết chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập có đáp án để bạn có thể tự luyện tập và củng cố kiến thức.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho trong bảng sau:
\[{s^2} = \frac{{{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_m}{{({x_m} - \overline x )}^2}}}{n}\] được gọi là phương sai của mấu số liệu đó. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} .\) |
2. Ý nghĩa
Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:
So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?
Giải:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{1}{{60}}(5.7,5 + ... + 5.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
\(\overline {{x_B}} = \frac{1}{{60}}(20.7,5 + ... + 20.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau.
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(5.7,{5^2} + ... + 5.27,{5^2} - 17,{5^2}} = 5\)
\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(20.7,{5^2} + ... + 20.27,{5^2} - 17,{5^2}} \approx 8,42.\)
Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn.
Trong chương trình Toán 12, phần thống kê và xác suất đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững các khái niệm như phương sai, độ lệch chuẩn là nền tảng để hiểu sâu hơn về sự biến thiên của dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm theo chương trình Cánh Diều, cung cấp kiến thức chi tiết, dễ hiểu và các ví dụ minh họa cụ thể.
Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn điểm thi của học sinh trong một lớp, với các khoảng điểm như [0-5), [5-7), [7-8), [8-10) và tần số tương ứng là số lượng học sinh đạt được điểm trong mỗi khoảng.
Phương sai (ký hiệu là s2) là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, công thức tính phương sai được tính như sau:
s2 = ∑[(xi - x̄)2 * fi] / (n - 1)
Trong đó:
Độ lệch chuẩn (ký hiệu là s) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn:
s = √s2
Giả sử ta có bảng tần số sau:
| Khoảng | Tần số (fi) |
|---|---|
| [0-2) | 5 |
| [2-4) | 8 |
| [4-6) | 12 |
| [6-8) | 7 |
| Tổng | 32 |
Trung điểm của các khoảng lần lượt là 1, 3, 5, 7. Giá trị trung bình x̄ = (1*5 + 3*8 + 5*12 + 7*7) / 32 = 4.46875
Tiếp theo, ta tính phương sai và độ lệch chuẩn theo các bước đã nêu ở trên.
Phương sai và độ lệch chuẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Khi tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, cần lưu ý:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác để nắm vững kiến thức này nhé!
