Bài 3. Tích phân

Bài 3. Tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết và đầy đủ

Bài 3. Tích phân trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 2 là một phần quan trọng trong chương Nguyên hàm và tích phân. Bài học này tập trung vào việc hiểu rõ khái niệm tích phân, các tính chất của tích phân và các phương pháp tính tích phân cơ bản.

I. Khái niệm tích phân

Tích phân là một phép toán quan trọng trong giải tích, được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Về cơ bản, tích phân là quá trình ngược lại của phép vi phân.

Định nghĩa tích phân bất định: Nếu F'(x) = f(x) thì F(x) + C là một nguyên hàm của f(x), ký hiệu là ∫f(x)dx = F(x) + C.
Định nghĩa tích phân xác định: Tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, ký hiệu là ∫_a^b f(x)dx, biểu diễn diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.

II. Các tính chất của tích phân

Tích phân có một số tính chất quan trọng giúp đơn giản hóa việc tính toán:

∫_a^b [f(x) + g(x)]dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx
∫_a^b kf(x)dx = k∫_a^b f(x)dx (với k là hằng số)
∫_a^b f(x)dx = -∫_b^a f(x)dx
∫_a^a f(x)dx = 0

III. Các phương pháp tính tích phân cơ bản

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

Phương pháp đổi biến: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích hàm số thành các nhân tử đơn giản hơn, sau đó tính tích phân từng phần.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(2x + 1)dx

Giải: ∫(2x + 1)dx = ∫2xdx + ∫1dx = x² + x + C

Ví dụ 2: Tính ∫₀¹ x²dx

Giải: ∫₀¹ x²dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích phân, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm, tính chất và phương pháp tính tích phân. Giaibaitoan.com cung cấp đầy đủ đáp án và lời giải chi tiết cho tất cả các bài tập trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 2, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.