Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \[B\left( {3,5;5,5;0} \right)\] trên đường băng EG (Hình 37).
Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B\left( {3,5;5,5;0} \right)\) trên đường băng EG (Hình 37).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ \(2,{5^o}\) đến \(3,{5^o}\) hay không.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; -5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m.
e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 6,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
c)
+ Viết phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua điểm M và nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
+ Vì C thuộc đường thẳng AB nên tính tọa độ điểm C theo t.
+ Thay tọa độ điểm C (theo ẩn t) vào phương trình mặt phẳng (MNP) ta tìm được t. Từ đó tính được tọa độ điểm C.
d) Sử dụng kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o},{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
e) Tính DE, so sánh DE với 900m, từ đó đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) (t là tham số).
b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Do đó, \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 7,5.0 + \left( { - 0,4} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 7,5} \right)}^2} + {{\left( { - 0,4} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}\) nên \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {3^o}\). Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng (MNP).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 5; - 5;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 5;0;0,5} \right)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\)
Mặt phẳng (MNP) nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 2,5\left( {x - 5} \right) + 2,5\left( {y - 0} \right) - 25\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0\)
Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Vì C thuộc AB nên \(C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)\). Mà C thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên:
\(3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0\), suy ra \(t = \frac{9}{{23}}\). Do đó, \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).
d) Vì D thuộc AB nên \(D\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \right)\)
D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.
Ta có: \(d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4t'} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4t'} \right|\)
Do đó, \(\left| {0,4 - 0,4t'} \right| = 0,12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\\0,4 - 0,4t' = - 0,12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 0,7\\t' = 1,3\end{array} \right.\)
Với \(t' = 0,7\) ta có \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).
Với \(t' = 1,3\) ta có \(D\left( {3,5;7,75; - 0,12} \right)\).
Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).
e) Ta có: \(DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}} \approx 1,256\left( {km} \right)\)
Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900m = 0,9km < 1,256km\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.
Bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 11 thường có dạng như sau: Cho hàm số f(x). Tìm đạo hàm f'(x) và sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm y' và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Giải:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác.
Bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã có thể giải bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
