Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

I. Lý thuyết cơ bản

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và \vec{b} = (b_1; b_2; b_3). Các phép toán cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực được thực hiện như sau:

Phép cộng vectơ:\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)
Phép trừ vectơ:\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)
Phép nhân vectơ với một số thực k:k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)

II. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và \vec{b} = (b_1; b_2; b_3) được tính bằng công thức:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Tính chất của tích vô hướng:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} (Tính giao hoán)
\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} (Tính phân phối)
k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho \vec{a} = (1; 2; -3) và \vec{b} = (-2; 0; 1). Tính \vec{a} + \vec{b} và \vec{a} - \vec{b}.

Giải:

\vec{a} + \vec{b} = (1 - 2; 2 + 0; -3 + 1) = (-1; 2; -2)
\vec{a} - \vec{b} = (1 - (-2); 2 - 0; -3 - 1) = (3; 2; -4)

Bài 2: Cho \vec{a} = (2; -1; 3). Tính 3\vec{a}.

Giải:

3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1); 3 \cdot 3) = (6; -3; 9)

Bài 3: Cho \vec{a} = (1; 0; -1) và \vec{b} = (0; 1; 2). Tính \vec{a} \cdot \vec{b}.

Giải:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) = 0 + 0 - 2 = -2

IV. Mở rộng và lưu ý

Việc nắm vững các công thức và tính chất của các phép toán vectơ là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Ngoài ra, cần chú ý đến việc áp dụng đúng các công thức và tính chất để tránh sai sót. Thực hành nhiều bài tập sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về chủ đề này.

Các bài tập về tích vô hướng thường được sử dụng để chứng minh các tính chất hình học như tính vuông góc, tính song song của các vectơ và các đường thẳng. Hãy luyện tập thêm các bài tập liên quan để nâng cao kỹ năng giải toán.

Giaibaitoan.com hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - SGK Toán 12 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!