Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số tại một điểm và khi x tiến tới vô cùng. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính giới hạn đã học.

I. Khái niệm cơ bản về giới hạn hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Việc hiểu rõ khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán về giới hạn.

II. Các phương pháp tính giới hạn hàm số

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị x = a vào hàm số f(x) nếu hàm số xác định tại a.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các phép biến đổi đại số để phân tích hàm số thành nhân tử, sau đó rút gọn và tính giới hạn.
Phương pháp nhân liên hợp: Sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Phương pháp sử dụng giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim_x→0 sinx/x = 1, lim_x→0 (1+x)^1/x = e.

III. Giải bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Bài 2: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3)

Giải:

lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3) = lim_x→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

IV. Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn hàm số

Luôn kiểm tra xem hàm số có xác định tại điểm cần tính giới hạn hay không.
Sử dụng các phương pháp phù hợp với từng dạng bài tập.
Rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn để đơn giản hóa bài toán.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

V. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Tính lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1)
Tính lim_x→0 sin(3x) / x
Tính lim_x→∞ (x² + 2x + 1) / (x² + 1)

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập về giới hạn hàm số trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!