Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập phức tạp. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải rõ ràng để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tính các giới hạn sau:
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các định lí về giới hạn hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( { - 5 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 5} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}}}\)
\( = \frac{{ - 5 + 0}}{{3 + 0}} = \frac{{ - 5}}{3}\)
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\left( {\frac{{ - 2}}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{ - 2}}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}\)
\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{{x^2}}}}} = \frac{{0 + 0}}{{3 + 0 + 0}} = 0\).
c) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 9 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2}}} = 9 + 0 = 9\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} = \sqrt 9 = 3\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \frac{3}{1} = 3\).
d) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( { - x} \right)\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right) = - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 9 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}} = 9 + 0 = 9\), nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} = \sqrt 9 = 3\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}} = - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = - \frac{3}{1} = - 3\).
e) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 6} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 6}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 6}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1}}\)
\( = \frac{{2.1 - 6}}{{1 + 1}} = - 2\).
f) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {5 - x} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{5 - x}}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} 5 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} 1}}\)
\( = \frac{{5 - \left( { - 3} \right)}}{{\left( { - 3} \right) + 1}} = - 4\).
Bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 21 trang 76, đề bài thường yêu cầu:
Để giải bài 21 trang 76, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Giả sử chúng ta cần giải bài tập sau: Vẽ đồ thị hàm số y = 2sin(x) và xác định các điểm cực đại, cực tiểu.
Lời giải:
| x | y' | y |
|---|---|---|
| π/2 + kπ | 0 | ±2 |
| (π/2 + kπ, π + kπ) | - | Giảm |
| (π + kπ, 3π/2 + kπ) | + | Tăng |
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = 2sin(x). Các điểm cực đại là (π/2 + 2kπ, 2) và các điểm cực tiểu là (3π/2 + 2kπ, -2).
Khi giải bài tập về hàm số lượng giác, cần lưu ý những điều sau:
Kiến thức về hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài 21 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
