Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Giả sử \(SA = 5a\), \(AB = 3a\), \(AD = 4a\) và góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\varphi \). Tính \(\cos \varphi \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Ta chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), từ đó suy ra \(\varphi = \widehat {SAH}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Dễ dàng chứng minh được \(SH\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBM} \right)\). Hơn nữa, do \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), tức \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SAH}\), tức là \(\varphi = \widehat {SAH}\). Suy ra \(\cos \varphi = \cos \widehat {SAH} = \frac{{AH}}{{SA}}\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật, nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a\).
Ta có \(AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.4a = 2a\).
Do \(AM\parallel BC\), ta suy ra \(\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{2a}}{{4a}} = \frac{1}{2}\). Như vậy \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(AH = \frac{{AC}}{3} = \frac{{5a}}{3}\).
Do đó \(\cos \varphi = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{5a}}{3}}}{{5a}} = \frac{1}{3}\).
Bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và giải các bài toán ứng dụng liên quan.
Bài 44 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 44 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Để cung cấp lời giải chi tiết cho bài 44, chúng ta cần biết nội dung cụ thể của bài tập. Tuy nhiên, dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài tập tương tự:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Suy ra AC ⊥ (SAC). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và AO.
Ta có: AO = AC/2 = (a√2)/2 = a/√2. Trong tam giác vuông SAO, ta có: tan(∠SAO) = SO/SA = (a/√2)/a = 1/√2. Vậy ∠SAO = arctan(1/√2). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là arctan(1/√2).
Ngoài ví dụ trên, bài 44 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và cách giải:
Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, bạn cần kiểm tra xem đường thẳng có song song, nằm trong mặt phẳng, hoặc cắt nhau với mặt phẳng hay không. Sử dụng các định lý và tính chất liên quan để chứng minh.
Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bạn cần tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Sau đó, sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.
Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, bạn cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ trên, bạn sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
