Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 60 trang 30, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất.
Giải phương trình:
Đề bài
Giải phương trình:
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)
b) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)
c*) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
d*) \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)
e) \(\cos x + \sin x = 0\)
g) \(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kết quả \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Sử dụng công thức \(\sin \alpha = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\) và kết quả \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) Sử dụng các công thức \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\) và kết quả \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) Sử dụng công thức \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\), để phương trình trở thành \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\).
Sử dụng kết quả \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
f) Nhận xét, nếu \(\cos x = 0\) thì \(\sin x = 0\). Điều này là vô lí, do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).
Như vậy \(\cos x \ne 0\). Biến đổi phương trình trở thành \(\tan x = \sqrt 3 \).
Sử dụng kết quả \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\4x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{13\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\). Phương trình trở thành:
\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:
\({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}\),
\({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2}\)
Phương trình trở thành:
\(\frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {4x + \pi } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = 4x + \pi + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = - \left( {4x + \pi } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:
\({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2}\)
\({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)
Phương trình trở thành:
\(\frac{{1 + \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \pi } \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Mặt khác, ta có \( - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\pi + 2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\).
Phương trình trở thành:
\(\cos \left( {4x + \pi } \right) = \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \pi = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \\4x + \pi = - \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) Ta có \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó, \(\cos x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
f) Nếu \(\cos x = 0\) thì \(\sin x = 0\). Điều này là vô lí, do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).
Như vậy \(\cos x \ne 0\). Phương trình trở thành:
\(\sin x = \sqrt 3 \cos x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)
Ta có \(\tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \). Phương trình trở thành \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 60 trang 30 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Bài 60 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 60 trang 30 một cách hiệu quả, bạn cần thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài tập yêu cầu vẽ đồ thị hàm số y = sin(2x). Để vẽ đồ thị này, bạn cần xác định:
Sau đó, bạn có thể vẽ đồ thị hàm số bằng cách sử dụng các điểm đặc biệt trên đồ thị, chẳng hạn như điểm cực đại, điểm cực tiểu, và điểm cắt trục hoành.
Để giải bài tập hàm số lượng giác một cách nhanh chóng và chính xác, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về hàm số lượng giác, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 60 trang 30 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
