Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều Chương IV tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng xác định và chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, và các điều kiện để hai đường thẳng song song.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Hai đường thẳng a và b được gọi là song song trong không gian nếu chúng không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng a và b song song là:

• a và b không có điểm chung.
• a và b không cùng nằm trong một mặt phẳng.
• Vectơ chỉ phương của a và b cùng phương.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về hai đường thẳng song song, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng: Sử dụng tọa độ các điểm thuộc đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương.
2. Kiểm tra điều kiện cùng phương: So sánh hai vectơ chỉ phương. Nếu một vectơ là bội của vectơ kia, chúng cùng phương.
3. Kiểm tra điều kiện không có điểm chung: Giải hệ phương trình đường thẳng để xem chúng có nghiệm hay không. Nếu không có nghiệm, chúng không có điểm chung.
4. Kiểm tra điều kiện không cùng nằm trong một mặt phẳng: Chứng minh rằng không tồn tại mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng.

III. Giải bài tập cụ thể (Ví dụ minh họa)

Bài tập: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình:

d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t

d₂: x = 2 + 2s, y = 1 - 2s, z = 5 + 4s

Chứng minh rằng hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

Giải:

• Tìm vectơ chỉ phương:
• Vectơ chỉ phương của d₁: u₁ = (1, -1, 2)
• Vectơ chỉ phương của d₂: u₂ = (2, -2, 4)

Ta thấy u₂ = 2u₁, do đó hai vectơ chỉ phương cùng phương.

• Kiểm tra điểm chung:

Giải hệ phương trình:

1 + t = 2 + 2s

2 - t = 1 - 2s

3 + 2t = 5 + 4s

Từ phương trình thứ nhất, ta có t = 1 + 2s. Thay vào phương trình thứ hai, ta được 2 - (1 + 2s) = 1 - 2s, suy ra 1 - 2s = 1 - 2s, luôn đúng. Thay t = 1 + 2s vào phương trình thứ ba, ta được 3 + 2(1 + 2s) = 5 + 4s, suy ra 5 + 4s = 5 + 4s, luôn đúng.

Hệ phương trình có vô số nghiệm, điều này có nghĩa là hai đường thẳng có vô số điểm chung, tức là trùng nhau. Tuy nhiên, vì vectơ chỉ phương cùng phương, nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Trong trường hợp này, vì có vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng nhau.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 3, 4, 5 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều Chương IV.
• Các bài tập tương tự trên các trang web học toán online khác.

V. Kết luận

Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian - SBT Toán 11 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về các điều kiện để hai đường thẳng song song trong không gian. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong các kỳ thi.