Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 18 trang 100 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành.
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I\), \(J\),\(K\), \(L\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SAD\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(I\), \(J\),\(K\), \(L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJKL\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(JL\parallel {\rm{CD}}\).
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình bình hành. Chứng minh rằng \(IJ\parallel LK\) và \(IJ = LK\), để suy ra tứ giác \(IJLK\) là hình bình hành.
b) Chứng minh \(JL\) và \(CD\) cùng song song với \(NQ\), từ đó suy ra \(JL\parallel CD\).
c) Từ kết quả câu b, và sử dụng tính chất “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó” để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Suy ra \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Tương tự ta có \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\).
Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\). Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Ta có \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\), nên suy ra \(I \in SM\) và \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(J \in SN\) và \(\frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).
Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{SJ}}{{SN}} = \frac{2}{3}\), theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra \(IJ\parallel MN\) và \(\frac{{IJ}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(LK\parallel PQ\) và \(\frac{{LK}}{{PQ}} = \frac{2}{3}\).
Từ đó ta suy ra \(IJ\parallel LK\) và \(IJ = LK\). Vậy bốn điểm \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJLK\) là hình bình hành.
b) Ta có \(L\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\), nên suy ra \(L \in SQ\) và \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{SL}}{{SQ}} = \frac{{SJ}}{{SN}}\), tức là \(JL\parallel NQ\).
Mặt khác \(N\) là trung điểm của \(BC\),\(Q\) là trung điểm của \(DA\) nên suy ra \(NQ\parallel CD\).
Vậy \(JL\parallel CD\).
c) Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\), ta có \(JL\parallel CD\), \(JL \in \left( {IJKL} \right)\), \(CD \in \left( {SCD} \right)\).
Hơn nữa \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) và \(K \notin JL\), \(K \notin CD\)
Xét hai mặt phẳng \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\), ta có \(K \in \left( {IJKL} \right) \cap \left( {SCD} \right)\), tức là \(K\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Hơn nữa, \(K \notin JL\), \(K \notin CD\), nên \(JL\) và \(CD\) không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
Mặt khác, ta có \(JL\parallel CD\), \(JL \in \left( {IJKL} \right)\), \(CD \in \left( {SCD} \right)\) nên giao tuyến của \(\left( {IJKL} \right)\)và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(CD\). Trên hình vẽ, giao tuyến của chúng là đường thẳng \(EF\) đi qua \(K\) và song song với \(CD\).
Bài 18 trang 100 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, tìm giao điểm, và chứng minh các tính chất liên quan. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, và các điều kiện đồng phẳng.
Bài 18 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 18 trang 100 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.
Khi giải bài tập 18 trang 100 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 18 trang 100 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tập tốt!
