Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương II: Dãy số - Tổng quan

Chương II trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, bao gồm các khái niệm cơ bản, các loại dãy số đặc biệt như cấp số cộng và cấp số nhân. Việc hiểu rõ về dãy số là nền tảng quan trọng để tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán học.

1. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

• Dãy số hữu hạn: Có số lượng phần tử xác định.
• Dãy số vô hạn: Có số lượng phần tử không xác định.

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước nó.

Công thức tổng quát:u_n = u₁ + (n-1)d, trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• d là công sai
• n là số thứ tự của số hạng

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi (tỉ số).

Công thức tổng quát:u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• q là tỉ số
• n là số thứ tự của số hạng

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

• Nếu q = 1: S_n = n * u₁
• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

4. Ứng dụng của Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:

• Tài chính: Tính lãi kép, tính giá trị tương lai của khoản đầu tư.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Tin học: Thuật toán đệ quy, cấu trúc dữ liệu.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 2 và công sai là 3.

Giải: Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n-1)d, ta có: u₁₀ = 2 + (10-1) * 3 = 29

Bài tập 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 và tỉ số là 2.

Giải: Áp dụng công thức S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), ta có: S₂₀ = 1 * (1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 1048575

6. Luyện tập và Ôn tập

Để nắm vững kiến thức về chương II, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến như giaibaitoan.com để có thêm nhiều tài liệu và lời giải chi tiết.

7. Kết luận

Chương II về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức trong chương này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các em học tập tốt!