Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập phức tạp. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải rõ ràng để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\) vào biểu thức \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)để tính \({u_3},{u_4},{u_5}\).
b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} = {v_{n - 1}} + 2\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.
c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)
Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)
Từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\({u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 2 = 2.2 - 1 + 2 = 5\)
\({u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 2 = 2.5 - 2 + 2 = 10\)
\({u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 2 = 2.10 - 5 + 2 = 17\)
Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.
b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)
Mà \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\), ta suy ra \({v_n} = {v_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 2\)
Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({v_n} - {v_{n - 1}} = 2\) là một hằng số, nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 2 - 1 = 1\), công sai \(d = 2\).
c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng, nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\)
Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)
Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{{\left( {2v{\rm{\_1 + }}\left( {n - 2} \right)d} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1\).
Bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép biến đổi lượng giác, tính chất của hàm số lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.
Thông thường, bài tập 56 sẽ bao gồm các dạng bài sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một bài tập cụ thể thuộc bài 56 trang 57. Giả sử bài tập yêu cầu:
Chứng minh đẳng thức: sin2x + cos2x = 1
Lời giải:
Để giải tốt các bài tập trong bài 56 trang 57, bạn cần nắm vững các kỹ năng sau:
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải bài tập lượng giác hiệu quả hơn:
Để học tốt môn Toán 11, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 56 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
