Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết và dễ tiếp thu nhất.
Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right)), (AB bot BC)
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là số đo của các góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), \(\left[ {A,BC,S} \right]\), \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Tính
a) \(\cos \alpha \), \(\cos \beta \).
b*) \(\cos \gamma \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xác định góc phẳng nhị diện của các góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), \(\left[ {A,BC,S} \right]\) và tính cos của chúng.
b) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) và \(SC\). Chứng minh rằng \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), và tính cos của nó.
Lời giải chi tiết
a) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên ta suy ra \(SA \bot AB\), \(SA \bot AC\) và \(SA \bot BC\). Suy ra \(\widehat {BAC}\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), tức là \(\alpha = \widehat {BAC}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a\).
Như vậy \(\cos \alpha = \cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{5a}} = \frac{3}{5}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), ta cũng suy ra \(BC \bot AB\). Do \(SA \bot BC\) nên ta suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Điều này dẫn tới \(BC \bot SB\).
Vì \(BC \bot SB\), \(BC \bot AB\) nên góc \(\widehat {SBA}\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), tức là \(\beta = \widehat {SBA}\).
Tam giác \(SBA\) vuông tại \(A\), nên \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 a\).
Như vậy \(\cos \beta = \cos \widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{{3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) và \(SC\).
Theo câu a, ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Mà ta có \(AH \bot SB\) nên suy ra \(AH \bot \left( {BSC} \right)\), điều này dẫn tới \(AH \bot SC\).
Do \(AH \bot SC\), \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AHK} \right)\), suy ra \(HK \bot SC\).
Như vậy ta có \(AK \bot SC\), \(HK \bot SC\) nên \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,H} \right]\). Do \(H \in \left( {SCB} \right)\) nên góc nhị diện \(\left[ {A,SC,H} \right]\) cũng chính là góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Do đó, \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), tức là \(\gamma = \widehat {AKH}\).
Vì \(AH \bot \left( {BSC} \right)\) nên \(AH \bot HK\), do đó \(\cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}}\).
Ta có \(AH = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{3a.3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) (do \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\))
Và \(AK = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{3a.5a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}} }} = \frac{{15{a^2}}}{{a\sqrt {34} }} = \frac{{15\sqrt {34} a}}{{34}}\) (do \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\))
Suy ra \(HK = \sqrt {A{K^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Do đó, \(\cos \gamma = \cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}} = \frac{{\frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).
Bài 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép biến đổi lượng giác, tính chất của hàm số lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.
Thông thường, bài tập 27 sẽ bao gồm các dạng bài sau:
Để giải bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ minh họa (giả định một dạng bài tập cụ thể):
Bài tập: Chứng minh rằng sin2x + cos2x = 1
Lời giải:
Ta có: sin2x + cos2x = (sin x)2 + (cos x)2. Theo định nghĩa của sin và cos trong tam giác vuông, sin x là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, cos x là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông, ta có: cạnh đối2 + cạnh kề2 = cạnh huyền2. Do đó, (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Vậy, sin2x + cos2x = 1 (đpcm).
Để giải nhanh các bài tập lượng giác, bạn có thể sử dụng một số mẹo sau:
Để học tốt môn Toán 11, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
