Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 74 trang 33 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm.
Đề bài
Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách \(h\) (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức \(h = \left| y \right|\), trong đó \(y = a\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\), với \(t\) là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí \(A\) (Xem hình dưới)
a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?
b) Tìm giá trị của \(a\).
c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có \(h = 2,5\) cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thời gian chất điểm chuyển động một vòng là chu kì của chất điểm đó.
Xét \(h = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5k\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Nhận thấy \(k = 2\), ta thấy chất điểm và quay về vị trí\(A\). Do vậy, thời gian chất điểm chuyển động một vòng là 10 giây.
b) Do thời gian chất điểm chuyển động một vòng là 10 giây, nên sau 2,5 giây chất điểm chuyển động được một phần tư vòng tròn theo chiều dương. Như vậy tại \(t = 2,5\) ta có: \(a\sin \left( {\frac{\pi }{5}.\frac{5}{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow a = 5\).
c) Yêu cầu đề bài tương đương với việc tìm \(t\) để \(y = 5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - 2,5\).
Giải phương trình ẩn \(t\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Thời gian chất điểm chuyển động một vòng là chu kì của chất điểm đó.
Xét \(t = 0 \Rightarrow h = 0\), ta thấy chất điểm ở vị trí \(A\). Ta cần tìm thời gian gần nhất kể từ thời điểm \(t = 0\) (giây), chất điểm lại quay về vị trí \(A\).
Xét \(h = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5k\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Với \(k = 1\), ta thấy chất điểm chuyển động được nửa vòng tròn.
Với \(k = 2\), ta thấy chất điểm chuyển động được một vòng tròn, và quay về vị trí\(A\).
Do vậy, thời gian chất điểm chuyển động một vòng là 10 giây.
b) Do thời gian chất điểm chuyển động một vòng là 10 giây, nên sau 2,5 giây chất điểm chuyển động được một phần tư vòng tròn theo chiều dương. Như vậy tại \(t = 2,5\) ta có: \(y = \left| y \right| = h = 5 \Leftrightarrow a\sin \left( {\frac{\pi }{5}.\frac{5}{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow a\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow a = 5\).
\( \Rightarrow y = 5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\)
c) Ta cần tìm \(t\) để \(h = 2,5\)cm và ở dưới trục hoành nên \(y = - 2,5\).
\(5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - 2,5 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - \frac{1}{2}\)
Ta thấy \(\sin \frac{{ - \pi }}{6} = - \frac{1}{2}\), phương trình ở trên tương đương với
\(\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \sin \frac{{ - \pi }}{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5}t = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5}t = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 5 + 60k}}{6}\\t = \frac{{35 + 60k}}{6}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì ta chỉ xét vòng quay đầu tiên, nên \(0 \le t \le 10\). Do đó \(t = \frac{{35}}{6}\), \(t = \frac{{55}}{6}\)
Vậy tại thời điểm \(t = \frac{{35}}{6}\) giây, \(t = \frac{{55}}{6}\) giây, chất điểm cách trục hoành 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành.
Bài 74 trang 33 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất đã học để chứng minh mối quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tính các yếu tố hình học liên quan.
Bài 74 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết các bài tập trong bài 74 trang 33 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC và SA ⊥ BD. Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCO.
Ta có: AC = a√2, OC = AC/2 = a√2/2. Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.
Trong tam giác SOC vuông tại O, ta có: sin(SCO) = SO/SC = (a√2/2) / (a√3) = √2 / (2√3) = √6 / 6. Vậy, góc SCO = arcsin(√6 / 6).
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, bạn cần chú ý:
Bài 74 trang 33 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự.
