Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 tập 2 Cánh diều tập trung vào việc củng cố kiến thức về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.

I. Khái niệm cơ bản

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

II. Các định lý quan trọng

1. Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
2. Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó cũng vuông góc với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
3. Định lý 3: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

III. Giải bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

• Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
• Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có tan góc SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
• Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng góc SCA và arctan(1/√2) ≈ 35.26 độ.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

• Kẻ AH vuông góc với AC tại H.
• Trong tam giác ACC', ta có AC' = √(AC² + CC'²) = √(a² + b² + c²).
• Trong tam giác AHC', ta có sin góc ACA' = CC'/AC' = c/√(a² + b² + c²).
• Vậy góc giữa AC' và (ABCD) bằng góc ACA' và arcsin(c/√(a² + b² + c²)).

IV. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, các em hãy tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 11 tập 2 Cánh diều. Hãy chú ý áp dụng các định lý và khái niệm đã học để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

V. Mở rộng kiến thức

Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong thực tế, chẳng hạn như trong kiến trúc, xây dựng, hoặc trong việc tính toán khoảng cách giữa các điểm và mặt phẳng.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!