Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất - SBT Toán 11 - Cánh diều

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài 2 trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào các khái niệm cơ bản nhưng thiết yếu để hiểu rõ về xác suất, đó là biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững các khái niệm này cùng với các quy tắc tính xác suất sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(B|A): Xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra
• P(A|B): Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Điều này có nghĩa là:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu hai biến cố A và B độc lập, thì việc tính xác suất của biến cố hợp và biến cố giao trở nên đơn giản hơn.

4. Các quy tắc tính xác suất

Ngoài các công thức trên, còn có một số quy tắc tính xác suất quan trọng khác:

• Quy tắc bù: P(A') = 1 - P(A), trong đó A' là biến cố đối của A.
• Quy tắc cộng xác suất: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Quy tắc nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

• A: Mặt xuất hiện là số chẵn = {2, 4, 6} => P(A) = 3/6 = 1/2
• B: Mặt xuất hiện là số chia hết cho 3 = {3, 6} => P(B) = 2/6 = 1/3
• A ∩ B = {6} => P(A ∩ B) = 1/6
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố lấy được quả bóng đỏ thứ nhất. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố lấy được quả bóng đỏ thứ hai (sau khi đã lấy 1 quả đỏ). P(B|A) = 4/7
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

Kết luận

Hiểu rõ về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất trong chương trình Toán 11. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.