Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\).
c) Từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
d*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(AO \bot \left( {SBD} \right)\), từ đó suy ra rằng khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AO\).
b) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). Chứng minh rằng \(OM\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(OM\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SM\). Chứng minh rằng \(H\) cũng là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\), từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(OH\).
d) Gọi \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\). Chỉ ra rằng \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\) và \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và bằng \(AG\). Sử dụng định lí Thales để tính \(AG\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(ABCD\) là hình vuông, nên \(AO \bot BD\). Hơn nữa, do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot AO\). Như vậy, do \(AO \bot BD\), \(SO \bot AO\) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\). Điều này có nghĩa \(O\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SBD} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là đoạn thẳng \(AO\).
Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). Do \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), nên ta suy ra \(OM \bot CD\) và \(OM = \frac{a}{2}\).
Do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(SO \bot OM\).
Như vậy, do \(OM \bot CD\), \(SO \bot OM\), nên \(OM\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(OM\).
Do \(OM = \frac{a}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) là \(\frac{a}{2}\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SM\). Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SO \bot CD\), mà \(OM \bot CD\) nên \(\left( {SOM} \right) \bot CD\), điều này suy ra \(OH \bot CD\). Mà lại có \(OH \bot SM\) nên \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
Vậy \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\), tức là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SCD} \right)\) là đoạn thẳng \(OH\).
Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\).
Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\), nên ta có:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{2}{{7{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}} \Rightarrow OH = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{30}}} = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\).
d) Gọi \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\).
Ta có \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\), mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SD\) cũng bằng khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\). Do \(G\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {SCD} \right)\), nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(AG\).
Do \(OH \bot \left( {SCD} \right)\), \(AG \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(OH\parallel AG\).
Tam giác \(ACG\) có \(OH\parallel AG\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{OH}}{{AG}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(AG = 2OH\). Mà \(OH = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}\) nên \(AG = \frac{{a\sqrt {210} }}{{15}}\).
Bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, và các bài toán ứng dụng khác.
Bài tập 49 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải quyết bài tập 49 trang 110 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể ở đây, ví dụ: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).)
Lời giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1). Ta có:
a.n = (1)(2) + (-1)(-1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0
Vì a.n ≠ 0 nên đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Để kiểm tra xem d có song song với (P) hay không, ta cần kiểm tra xem d có điểm nào thuộc (P) hay không. Thay x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t vào phương trình (P), ta được:
2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 5 = 0
2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t - 5 = 0
5t - 2 = 0
t = 2/5
Vì tồn tại t = 2/5 thỏa mãn phương trình (P) nên đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm có tọa độ (1 + 2/5, 2 - 2/5, 3 + 4/5) = (7/5, 8/5, 19/5). Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) và không song song với (P).
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều và các tài liệu tham khảo khác.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 49 trang 110 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
