Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Tang của góc giữa đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'D\) và \(BC\).
e*) Góc giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta sẽ chỉ ra \(AA'\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Ta chứng minh \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Ta chứng minh \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó, ta cần tính \(\tan \widehat {DBD'}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Chứng minh rằng \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(IC\).
e*) Chỉ ra rằng do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), và bằng góc \(\widehat {AD'C}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\). Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), và bằng \(AA'\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\), nên ta có \(AA' = a\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \(a\).
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AD \bot CD\), \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\) và \(ADD'A'\) là hình vuông.
Ta nhận xét rằng \(A'D\parallel B'C\), và \(CD \bot A'D\) (do \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\)), cùng với \(AD \bot CD\), ta suy ra \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
Vì \(ADD'A'\) là hình vuông nên \(\widehat {ADA'} = {45^o}\).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(D\) là hình chiếu của \(D'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\), nên \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên ta có \(BD = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\tan \widehat {DBD'} = \frac{{DD'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (tam giác \(DBD'\) vuông tại \(D\))
Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên \(DCC'D'\) là hình vuông, suy ra \(IC \bot DC'\).
Mặt khác, cũng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này dẫn tới \(IC \bot BC\).
Như vậy, ta có \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), tức khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là đoạn thẳng \(IC\).
Do \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(D'C = a\sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
e*) Do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), tức là góc \(\widehat {AD'C}\).
Tam giác \(AD'C\) có \(AD' = D'C = AC\) (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác \(AD'C\) đều. Suy ra \(\widehat {AD'C} = {60^o}\).
Vậy góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) bằng \({60^o}\).
Bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công bài tập này.
Bài 55 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng phần của bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúng ta sẽ đi qua từng bước giải, giải thích rõ ràng các khái niệm và công thức được sử dụng.
Ví dụ, xét hàm số y = sin(2x). Để xác định tập xác định, ta thấy hàm số này xác định với mọi x thuộc tập số thực. Tập giá trị của hàm số là [-1, 1]. Chu kỳ của hàm số là π. Hàm số này là hàm số lẻ, có tính đối xứng qua gốc tọa độ.
Để vẽ đồ thị hàm số y = sin(2x), ta có thể sử dụng các điểm đặc biệt như (0, 0), (π/4, 1), (π/2, 0), (3π/4, -1), (π, 0). Sau đó, nối các điểm này lại với nhau để tạo thành đồ thị hàm số.
Ví dụ, giải phương trình sin(2x) = 1/2. Ta có thể sử dụng đồ thị hàm số để tìm các nghiệm của phương trình. Hoặc, ta có thể giải phương trình bằng cách sử dụng các công thức lượng giác. Các nghiệm của phương trình là x = π/12 + kπ và x = 5π/12 + kπ, với k là số nguyên.
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải bài tập hàm số lượng giác hiệu quả hơn:
Bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi đã cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các bài toán tương tự.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều kiến thức thú vị khác về Toán học tại giaibaitoan.com!
