Chương III. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương III: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan

Chương III trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều Tập 1 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm nền tảng cho việc học các chương trình giải tích cao hơn. Chương này giúp học sinh hiểu được ý nghĩa của giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm và trên một khoảng, cũng như các điều kiện để một hàm số được coi là liên tục.

1. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, mô tả xu hướng của hàm số khi biến độc lập tiến tới một giá trị nhất định. Để hiểu rõ hơn về giới hạn, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Giới hạn tại một điểm:lim_x→a f(x) = L nghĩa là khi x tiến gần đến a, giá trị của f(x) tiến gần đến L.
Giới hạn bên trái và bên phải: Để một giới hạn tồn tại, giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại điểm đó phải bằng nhau.
Các dạng vô định: Các dạng như 0/0, ∞/∞, 0 * ∞ cần được xử lý bằng các phương pháp đặc biệt để tìm giới hạn.

2. Tính liên tục của hàm số

Một hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số được xác định tại điểm đó.
Giới hạn của hàm số tại điểm đó tồn tại.
Giá trị của hàm số tại điểm đó bằng giới hạn của hàm số tại điểm đó.

Tính liên tục của hàm số có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số, như tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng trong các bài toán thực tế.

3. Các phương pháp tính giới hạn

Có nhiều phương pháp để tính giới hạn của hàm số, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức và tính giới hạn.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của biểu thức để khử dạng vô định.
Quy tắc L'Hôpital: Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của các dạng vô định 0/0 và ∞/∞.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2. Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = {x², x < 1; 2x - 1, x ≥ 1} tại x = 1.

Giải: Ta có lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1 và lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm số, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm, phương pháp và ứng dụng của chúng trong các bài toán cụ thể.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!