Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình giải tích, làm nền tảng cho việc nghiên cứu các khái niệm phức tạp hơn như giới hạn của hàm số, đạo hàm, tích phân.

I. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Để chứng minh một dãy số có giới hạn, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc các tính chất của giới hạn.

II. Các dạng bài tập thường gặp

1. Bài tập về tính giới hạn của dãy số đơn giản: Các bài tập này thường yêu cầu tính giới hạn của các dãy số có dạng u_n = a/n, u_n = (n+a)/n, u_n = căn bậc n của a,...
2. Bài tập về chứng minh sự hội tụ của dãy số: Các bài tập này yêu cầu chứng minh rằng một dãy số có giới hạn hữu hạn.
3. Bài tập về ứng dụng giới hạn của dãy số: Các bài tập này yêu cầu sử dụng khái niệm giới hạn của dãy số để giải quyết các bài toán thực tế.

III. Giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 11 - Cánh diều (Bài 1)

Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều, Bài 1. Giới hạn của dãy số:

Bài 1.1: Tính các giới hạn sau:

• a) lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3)
• b) lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5)
• c) lim_n→∞ căn bậc hai của (n + 1) / n

Giải:

• a) lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = 2/1 = 2
• b) lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5) = lim_n→∞ (3 + 2/n - 1/n²) / (1 + 5/n²) = 3/1 = 3
• c) lim_n→∞ căn bậc hai của (n + 1) / n = lim_n→∞ căn bậc hai của (1 + 1/n) = căn bậc hai của 1 = 1

Bài 1.2: Chứng minh các dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của chúng:

• a) u_n = (n + 1) / (2n - 1)
• b) u_n = (2ⁿ + 1) / (3ⁿ)

Giải:

• a) lim_n→∞ (n + 1) / (2n - 1) = lim_n→∞ (1 + 1/n) / (2 - 1/n) = 1/2. Vậy dãy số hội tụ và có giới hạn là 1/2.
• b) lim_n→∞ (2ⁿ + 1) / (3ⁿ) = lim_n→∞ ( (2/3)ⁿ + 1/3ⁿ ) = 0 + 0 = 0. Vậy dãy số hội tụ và có giới hạn là 0.

IV. Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn của dãy số

• Luôn kiểm tra xem dãy số có thực sự hội tụ hay không trước khi tìm giới hạn.
• Sử dụng các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa bài toán.
• Chú ý đến các trường hợp đặc biệt như dãy số không xác định.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập về giới hạn của dãy số trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!