Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 43 trang 23 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) \(y = 3\sin x + 5\)
b) \(y = \sqrt {1 + \cos 2x} + 3\)
c) \(y = 4 - 2\sin x\cos x\)
d) \(y = \frac{1}{{4 - \sin x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất \( - 1 \le \sin x \le 1\), \( - 1 \le \cos x \le 1\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow 2 \le 3\sin x + 5 \le 8\).
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Hàm số xác định khi \(1 + \cos 2x \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ge - 1\) (luôn đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\))
Do đó, tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow 3 \le \sqrt {1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt 2 \).
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3 + \sqrt 2 \) khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi \(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Do \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), nên \(y = 4 - 2\sin x\cos x = 4 - \sin 2x\).
Vì \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin 2x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin 2x \ge 3\), nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi \(\sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Hàm số xác định khi \(4 - \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 4\) (luôn đúng do \(\sin x \le 1 < 4\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)). Do đó, tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Rightarrow 5 \ge 4 - \sin x \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{5} \le \frac{1}{{4 - \sin x}} \le \frac{1}{3}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{3}\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{5}\) khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Bài 43 trang 23 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 43, trang 23, yêu cầu thường là:
Để giải bài 43 trang 23, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:
1. Xác định hàm số: y = sin(2x)
2. Tính đạo hàm: y' = 2cos(2x)
3. Tìm điểm cực trị: y' = 0 => cos(2x) = 0 => 2x = π/2 + kπ (k ∈ Z) => x = π/4 + kπ/2
4. Lập bảng biến thiên:
| x | y' | y |
|---|---|---|
| π/4 | 0 | 1 |
| 3π/4 | 0 | -1 |
5. Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số y = sin(2x) là một đường cong sin có chu kỳ T = π/2 và biên độ A = 1.
Việc giải bài tập hàm số lượng giác không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác như:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài 43 trang 23 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
