Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết

I. Lý thuyết cần nắm vững

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°.
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
  • Mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q).
  • Mặt phẳng (P) và (Q) có một giao tuyến d, và trong (P) có một đường thẳng d' vuông góc với d tại d.
• Tính chất: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc, thì mọi đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

II. Giải bài tập Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Cánh diều

Bài 4.1

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên AC ⊥ BD.
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Do đó, góc SCA là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
3. Trong tam giác vuông SAC, ta có tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
4. Suy ra SCA = arctan(1/√2) ≈ 35.26°.

Bài 4.2

Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Lời giải:

1. Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.
2. Xét tam giác SBC, ta có BC ⊥ SA và BC ⊥ AB. Do đó, BC ⊥ (SAB).
3. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBC.
4. Để tính góc SBC, ta cần thêm thông tin về độ dài các cạnh. Giả sử AB = a, BC = b, SA = c.
5. Trong tam giác SBC, ta có tan SBC = SC/BC. SC = √(SA² + AC²) = √(c² + a² + b²).
6. Vậy tan SBC = √(c² + a² + b²)/b.

Bài 4.3

Đề bài: ... (Tiếp tục giải các bài tập còn lại trong SBT)

III. Mở rộng và nâng cao

Để hiểu sâu hơn về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc, các em có thể tìm hiểu thêm về:

• Các định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc trong việc tính góc và khoảng cách trong không gian.
• Các bài toán thực tế liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập về hai mặt phẳng vuông góc trong SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tốt!