Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn học Toán dễ dàng hơn. Hãy cùng bắt đầu nhé!
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = - 2), ({u_{n + 1}} = frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}) với (n in {mathbb{N}^*}).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = - 1\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\), từ đó ta tìm được công thức của \({v_n}\) theo \(n\). Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên ta sẽ tìm được công thức của \({u_n}\) theo \(n\).
c) Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(S = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}} - 20\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)
\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).
Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).
Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)
c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:
\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)
\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)
Bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, tích vô hướng, và các tính chất liên quan để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 27 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều hiệu quả, bạn cần nắm vững các phương pháp sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi của bài 27. Ví dụ:)
Cho hai vectơ \vec{a}" và \vec{b}". Chứng minh rằng (\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2.
Lời giải:
(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a}\vec{a} + \vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{a} + \vec{b}\vec{b} = \vec{a}^2 + \vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2
(Tiếp tục giải các câu hỏi còn lại của bài 27 tương tự như câu a)
Để củng cố kiến thức về vectơ trong không gian, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải bài 27 trang 51 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các kiến thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Tích vô hướng | Một phép toán giữa hai vectơ, cho ra một số thực. |
