Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 17 trang 100 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án, cách giải và giải thích chi tiết từng bước để giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung bài học.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp tài liệu học tập chất lượng và hỗ trợ giải đáp mọi thắc mắc.
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(G\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SAD\)
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\). Gọi \(G\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SAD\); \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(GK\parallel MN\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(GK\), \(PQ\), \(BD\), \(MN\) đôi một song song với nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\).
Ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\), nên suy ra \(G \in SP\) và \(\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{2}{3}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(K \in SQ\) và \(\frac{{SK}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\).
Tam giác \(SPQ\) có \(\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{{SK}}{{SQ}}\) nên theo định lí Thales ta có \(GK\parallel PQ\).
Xét tam giác \(ABD\), ta có \(P\) là trung điểm của \(AB\), \(Q\) là trung điểm của \(AD\), nên \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Suy ra \(PQ\parallel BD\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN\parallel BD\).
Từ đó suy ra \(GK\parallel MN\). Bài toán được chứng minh.
Bài 17 trang 100 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Bài 17 bao gồm các dạng bài tập sau:
Tích vô hướng của hai vectơ a và b được tính theo công thức: a.b = xaxb + yayb + zazb
Trong trường hợp này, a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là 0.
Góc θ giữa hai vectơ u và v được tính theo công thức: cos θ = (u.v) / (|u||v|)
Trước tiên, tính tích vô hướng u.v = (2)(1) + (-1)(0) + (1)(-1) = 2 + 0 - 1 = 1
Tiếp theo, tính độ dài của hai vectơ:
Vậy, cos θ = 1 / (√6 * √2) = 1 / √12 = √3 / 6
Suy ra, θ = arccos(√3 / 6) ≈ 73.22°
Hai vectơ a và b vuông góc với nhau (a ⊥ b) khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0 (a.b = 0). Đây là một tính chất cơ bản của tích vô hướng.
Chứng minh:
Nếu a ⊥ b, thì theo định nghĩa, góc giữa hai vectơ a và b là 90°. Do đó, cos 90° = 0. Áp dụng công thức tính tích vô hướng, ta có: a.b = |a||b|cos 90° = |a||b| * 0 = 0.
Sách giáo khoa Toán 11 Cánh Diều
Sách bài tập Toán 11 Cánh Diều
Các trang web học toán online uy tín
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải quyết bài 17 trang 100 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
