Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 42 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, vì vậy chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\)
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CC'\), \(C'D'\), \(D'A'\), \(AA'\). Chứng minh rằng:
a) Sáu điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Các đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\), \(PS\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(RS\parallel NP\), \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\) để chỉ ra 6 điểm đồng phẳng.
b) Chứng minh rằng \(MNQR\), \(RSNP\) là các hình bình hành để suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Do \(R\) là trung điểm \(A'D'\), \(S\) là trung điểm \(AA'\) nên \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\). Suy ra \(RS\parallel AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP\parallel BC'\).
Tứ giác \(ABC'D'\) có \(AB = C'D'\) và \(AB\parallel C'D'\) nên là hình bình hành. Suy ra \(AD'\parallel BC'\) và \(AD' = BC'\). Từ đó suy ra \(RS\parallel NP\), và 4 điểm \(R\), \(S\), \(N\), \(P\) đồng phẳng.
Chứng minh tương tự ta có \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\).
Như vậy, 6 điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) đồng phẳng. Bài toán được chứng minh.
b) Ta có \(RS\parallel NP\).
Vì \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\) nên \(RS = \frac{1}{2}AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP = \frac{1}{2}BC'\). Do \(AD' = BC'\) nên \(RS = NP\). Vậy tứ giác \(RSNP\) là hình bình hành. Suy ra \(NR\) và \(PS\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(MNQR\) là hình bình hành, từ đó ta có \(NR\) và \(MQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do \(O\) là trung điểm của \(NR\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(MQ\).
Vậy ba đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\) và \(PS\) cắt nhau trung điểm \(O\) của mỗi đường.
Bài toán được chứng minh.
Bài 42 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, tích vô hướng, tích có hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
Bài 42 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 42 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài 42 (ví dụ, giả sử bài 42 có 3 câu a, b, c):
Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a.b.
Lời giải:
a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0. Vậy a.b = 0.
Cho tam giác ABC với A(1; 2; 3), B(2; 3; 4), C(0; 1; 2). Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
Ta có AB = (1; 1; 1) và AC = (-1; -1; -1). Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * |AB x AC|. Tính tích có hướng AB x AC = (0; 0; 0). Do đó, diện tích tam giác ABC bằng 0, tức là ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chứng minh rằng a. (b + c) = a.b + a.c với mọi vectơ a, b, c.
Lời giải:
Ta có a. (b + c) = a.b + a.c là một tính chất cơ bản của tích vô hướng. Chứng minh có thể thực hiện bằng cách sử dụng định nghĩa của tích vô hướng và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ngoài sách giáo khoa và sách bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn giải bài 42 trang 113 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
