Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 6}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\)
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1\),\(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\), \(n = 5\), \(n = 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) để tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\).
b) Thay \(n\) bởi \(n + 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) và chú ý rằng \(\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\).
c) Sử dụng kết quả câu b.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
\({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\)
\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là \(0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\)
\( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\)
Bài toán được chứng minh.
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 6}} = {u_n}\), nên vì vậy ta có:
\({u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}\),
\({u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}\),
\({u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}\),
\({u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}\),
\({u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}\),
\({u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}\).
Do đó, \({S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}\)
\( = 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3 \)
Bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng tính đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Bài 54 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x - 1 tại x = 1.
Lời giải:
f'(x) = 2x + 2
f'(1) = 2(1) + 2 = 4
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 1 là 4.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 54 trang 57 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của hằng số | (c)' = 0 |
| Đạo hàm của xn | (xn)' = nxn-1 |
| Đạo hàm của tổng/hiệu | (u ± v)' = u' ± v' |
| Đạo hàm của tích | (uv)' = u'v + uv' |
| Đạo hàm của thương | (u/v)' = (u'v - uv')/v2 |
