Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Lý thuyết và ứng dụng

Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, chuyên đề về biến ngẫu nhiên rời rạc đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức về xác suất thống kê. Bài 2 tập trung vào hai phân bố quan trọng: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc hiểu rõ hai phân bố này là cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến các hiện tượng ngẫu nhiên.

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm độc lập. Một thử nghiệm Bernoulli chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

Hàm phân phối xác suất: P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x = 0 hoặc 1.
Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối. Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0.5 (thành công), và xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.5 (thất bại).

2. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm Bernoulli độc lập. Các thử nghiệm này phải có xác suất thành công p không đổi.

Hàm phân phối xác suất: P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n. (C_n^k là tổ hợp chập k của n)
Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối 10 lần. Xác suất xuất hiện chính xác 6 mặt ngửa.

3. Mối liên hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có xác suất thành công là p.

4. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Hai phân bố này có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
Marketing: Phân tích tỷ lệ chuyển đổi của một chiến dịch quảng cáo.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Một xạ thủ bắn vào bia. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ là 0.8. Xạ thủ bắn 5 phát. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng bia chính xác 4 phát.

Giải: Đây là một bài toán về phân bố nhị thức với n = 5, k = 4, và p = 0.8. Áp dụng công thức, ta có:

P(X = 4) = C₅⁴ * (0.8)⁴ * (0.2)¹ = 5 * 0.4096 * 0.2 = 0.4096

Bài tập 2: Một hộp chứa 10 bóng đèn, trong đó có 3 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất có ít nhất 1 bóng đèn bị hỏng.

Giải: Bài toán này có thể giải bằng cách tính xác suất của biến cố đối: không có bóng đèn nào bị hỏng. Sau đó, lấy 1 trừ đi xác suất này.

Kết luận

Bài 2 về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng trong lĩnh vực xác suất thống kê. Việc nắm vững lý thuyết và áp dụng thành thạo các công thức sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế. Chúc các em học tốt!