Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong Chuyên đề 1 của chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo đi sâu vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Đây là một phần kiến thức quan trọng, không chỉ giúp học sinh nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề thực tế.

1. Giới thiệu chung về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng hoặc tập xác định nào đó. Trong thực tế, bài toán tối ưu xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kinh tế, kỹ thuật, khoa học tự nhiên,...

2. Các bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

1. Bước 1: Xác định hàm số cần tối ưu. Hàm số này thường biểu diễn một đại lượng nào đó mà ta muốn tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của biến số mà hàm số có nghĩa.
3. Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của hàm số cho ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
4. Bước 4: Tìm các điểm dừng của hàm số. Điểm dừng là các điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.
5. Bước 5: Xét dấu đạo hàm để xác định các khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
6. Bước 6: Xác định các điểm cực trị của hàm số. Điểm cực trị là các điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.
7. Bước 7: So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x - 3 trên khoảng [0; 3].

Giải:

• f'(x) = -2x + 4
• f'(x) = 0 ⇔ -2x + 4 = 0 ⇔ x = 2
• f(0) = -3
• f(2) = 1
• f(3) = 0

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng [0; 3] là 1, đạt được tại x = 2.

4. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
• Bài toán tối ưu hóa hình học (ví dụ: tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước mà chu vi nhỏ nhất).
• Bài toán tối ưu hóa kinh tế (ví dụ: tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận).

5. Lưu ý khi giải bài toán tối ưu

• Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số.
• Chú ý đến các điểm biên của tập xác định.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 6x + 5.
• Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 2x + 1 trên khoảng [0; 2].

Giaibaitoan.com hy vọng rằng bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Chúc bạn học tập tốt!