Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 1 trang 20 trong Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Đề bài
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\), biểu thị chu vi thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Bán kính nửa hình tròn là \(\frac{x}{2}\).
Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Diện tích hình chữ nhật là \(xy\).
Diện tích mặt cắt ngang là: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Do diện tích mặt cắt ngang bằng 2m2 nên ta có: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right)\).
Do \(x,y > 0\) nên ta có: \(\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8} > 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi {x^2}}}{8} < 2 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{{16}}{\pi } \Leftrightarrow x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\)
Chu vi của mặt cắt ngang là:
\(P = \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} + x + 2y = \frac{{\pi x}}{2} + x + 2.\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) với \(0 < x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\).
Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\).
Ta có: \(P'\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}}\)
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) hoặc \(x = - \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}} \right) \approx 5,34\).
Vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi \(x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }} \approx 1,50\left( m \right)\) và \(y = \frac{2}{{\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}} - \frac{{\pi .\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}}{8} \approx 0,75\left( m \right)\).
Bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào việc ôn tập và vận dụng các kiến thức về đạo hàm, tích phân và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm, tích phân và biết cách áp dụng chúng vào các bài toán cụ thể.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp bạn tránh được những sai sót không đáng có và tìm ra phương pháp giải phù hợp nhất. Hãy chú ý đến các dữ kiện, điều kiện và các yêu cầu cụ thể của bài toán.
Tùy thuộc vào từng dạng bài cụ thể, phương pháp giải bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo có thể khác nhau. Tuy nhiên, một số phương pháp giải thường được sử dụng bao gồm:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho bài 1 trang 20, bao gồm các bước giải, giải thích và kết luận. Lời giải này cần được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu và chính xác.)
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ minh họa cụ thể.
(Ở đây sẽ là một ví dụ minh họa cụ thể, bao gồm đề bài, lời giải và giải thích.)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn ôn tập và vận dụng các kiến thức về đạo hàm, tích phân và ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| (xn)' = nxn-1 | Đạo hàm của lũy thừa |
| (sin x)' = cos x | Đạo hàm của sin x |
| ∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C | Tích phân của lũy thừa |
| ∫sin x dx = -cos x + C | Tích phân của sin x |
