Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất. Nó mô tả một biến mà giá trị của nó chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số con trong một gia đình là những ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc.

1. Định nghĩa và ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một hàm số ánh xạ từ không gian mẫu Ω đến tập hợp các số thực. Mỗi giá trị x_i trong tập hợp các giá trị có thể của X được gán cho một xác suất P(X = x_i). Tổng của tất cả các xác suất này phải bằng 1.

Ví dụ 1: Tung một đồng xu hai lần. Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện mặt ngửa. Các giá trị có thể của X là 0, 1, 2.
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc. Biến ngẫu nhiên X là số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc. Các giá trị có thể của X là 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Để mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta sử dụng các số đặc trưng sau:

Giá trị kỳ vọng (Trung bình): E(X) = Σ x_i * P(X = x_i). Giá trị kỳ vọng là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên.
Phương sai: Var(X) = E[(X - E(X))²] = Σ (x_i - E(X))² * P(X = x_i). Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị kỳ vọng.
Độ lệch chuẩn: σ(X) = √Var(X). Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, cũng đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên.

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được rút ra. Tính giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Giải:

Các giá trị có thể của X là 0, 1, 2.
P(X = 0) = C(3,2) / C(8,2) = 3/28
P(X = 1) = C(5,1) * C(3,1) / C(8,2) = 15/28
P(X = 2) = C(5,2) / C(8,2) = 10/28
E(X) = 0 * (3/28) + 1 * (15/28) + 2 * (10/28) = 35/28 = 1.25
Var(X) = (0 - 1.25)² * (3/28) + (1 - 1.25)² * (15/28) + (2 - 1.25)² * (10/28) = 0.4107
σ(X) = √0.4107 = 0.641

4. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Bảo hiểm: Tính toán rủi ro và phí bảo hiểm.
Tài chính: Phân tích đầu tư và quản lý rủi ro.
Kiểm soát chất lượng: Đánh giá tỷ lệ sản phẩm lỗi.
Nghiên cứu khoa học: Mô hình hóa các hiện tượng ngẫu nhiên.

5. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trên giaibaitoan.com hoặc trong sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.

Hy vọng chuyên đề này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của nó. Chúc bạn học tập tốt!