Bài tập cuối chuyên đề 3 Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài tập cuối chuyên đề 3 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào lý thuyết xác suất, đặc biệt là biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng thống kê của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

I. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Để hiểu rõ hơn, ta xét một số ví dụ:

Ví dụ 1: Gieo một đồng xu hai lần. Biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt ngửa. X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ một lớp học. Biến ngẫu nhiên Y biểu thị chiều cao của học sinh đó (làm tròn đến cm). Y có thể nhận vô hạn các giá trị, nhưng là một tập đếm được.

II. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Để mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta sử dụng các số đặc trưng sau:

Kỳ vọng (Giá trị trung bình): E(X) = Σ(xi * P(X=xi)). Kỳ vọng là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, thể hiện giá trị mà ta kỳ vọng nhận được khi thực hiện phép thử nhiều lần.
Phương sai: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ((xi - E(X))^2 * P(X=xi)). Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng.
Độ lệch chuẩn: σ(X) = √Var(X). Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, cũng đo lường mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.

Giải:

X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

P(X=0) = C(2,2) / C(5,2) = 1/10
P(X=1) = C(3,1) * C(2,1) / C(5,2) = 6/10
P(X=2) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

Bài 2: Một người chơi xổ số mua 2 vé. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi Y là số vé trúng thưởng. Tính kỳ vọng và phương sai của Y.

Giải:

Y có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

P(Y=0) = (0.9)^2 = 0.81
P(Y=1) = 2 * 0.1 * 0.9 = 0.18
P(Y=2) = (0.1)^2 = 0.01

E(Y) = 0 * 0.81 + 1 * 0.18 + 2 * 0.01 = 0.2

Var(Y) = (0-0.2)^2 * 0.81 + (1-0.2)^2 * 0.18 + (2-0.2)^2 * 0.01 = 0.0324 + 0.1296 + 0.032 = 0.194

IV. Luyện tập nâng cao

Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán uy tín như giaibaitoan.com. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

V. Kết luận

Chuyên đề về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập được trình bày ở trên, bạn sẽ có thêm công cụ để học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất và thống kê một cách hiệu quả.