Bài 2. Xác suất của biến cố

1. Khái niệm cơ bản về xác suất

Xác suất là một khái niệm toán học dùng để đo lường khả năng xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên. Một sự kiện ngẫu nhiên là một thí nghiệm mà kết quả không thể dự đoán trước một cách chắc chắn. Ví dụ, việc tung một đồng xu là một thí nghiệm ngẫu nhiên, và kết quả có thể là mặt ngửa hoặc mặt sấp.

Để định nghĩa xác suất một cách chính xác, chúng ta cần giới thiệu một số khái niệm cơ bản:

Không gian mẫu (Ω): Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm ngẫu nhiên.
Biến cố (A): Một tập con của không gian mẫu, tức là một tập hợp các kết quả thỏa mãn một điều kiện nào đó.

Xác suất của một biến cố A, ký hiệu là P(A), được định nghĩa là tỷ lệ giữa số lượng kết quả thuận lợi cho A và tổng số lượng kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu.

Công thức: P(A) = 𝑛(𝐴) / 𝑛(Ω)

Trong đó:

𝑛(𝐴) là số lượng kết quả thuận lợi cho biến cố A.
𝑛(Ω) là số lượng phần tử của không gian mẫu.

2. Các quy tắc tính xác suất

Có một số quy tắc quan trọng giúp chúng ta tính xác suất một cách dễ dàng hơn:

2.1. Quy tắc cộng xác suất

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (tức là không thể xảy ra đồng thời), thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra là tổng của xác suất của A và xác suất của B.

Công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2.2. Quy tắc nhân xác suất

Nếu A và B là hai biến cố độc lập (tức là việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B), thì xác suất của biến cố A và B xảy ra là tích của xác suất của A và xác suất của B.

Công thức: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

2.3. Xác suất của biến cố đối

Biến cố đối của A, ký hiệu là A', là biến cố mà A không xảy ra. Xác suất của biến cố đối A' được tính bằng công thức:

Công thức: P(A') = 1 - P(A)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung một đồng xu một lần. Tính xác suất để mặt ngửa xuất hiện.

Giải:

Không gian mẫu: Ω = {Ngửa, Sấp} => 𝑛(Ω) = 2
Biến cố A: Mặt ngửa xuất hiện => A = {Ngửa} => 𝑛(𝐴) = 1
Xác suất: P(A) = 𝑛(𝐴) / 𝑛(Ω) = 1/2

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt 6.

Giải:

Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => 𝑛(Ω) = 6
Biến cố A: Xuất hiện mặt 6 => A = {6} => 𝑛(𝐴) = 1
Xác suất: P(A) = 𝑛(𝐴) / 𝑛(Ω) = 1/6

4. Bài tập vận dụng

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được quả bóng đỏ.
Gieo hai con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
Một chiếc hộp có 10 bóng, trong đó có 3 bóng trắng, 2 bóng đen và 5 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng cùng màu.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm xác suất và các quy tắc tính xác suất cơ bản. Chúc các em học tập tốt!