Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 23 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố kiến thức về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.

I. Khái niệm cơ bản

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều này có nghĩa là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90 độ.

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Có hai điều kiện chính để một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):

Điều kiện 1: Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P).
Điều kiện 2: Đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P).

III. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: tan(góc SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA, có tan bằng 1/√2.

Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Chứng minh rằng đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BC).

Giải:

Ta có: A'B vuông góc với BC và A'B vuông góc với BB'.
Do đó, A'B vuông góc với mặt phẳng (BCC'B').
Vì BC nằm trong mặt phẳng (BCC'B') nên A'B vuông góc với BC.
Xét tam giác ACC', ta có AC'² = AC² + CC'² = (a² + b²) + c².
Xét tam giác A'BC, ta có A'B² = AB² + AA'² = a² + c² và BC² = b².
Áp dụng định lý Pytago đảo cho tam giác A'BC, ta có A'B² + BC² = a² + c² + b² = AC'².
Vậy, tam giác A'BC vuông tại B, suy ra AC' vuông góc với A'B.
Do A'B vuông góc với BC và AC' vuông góc với A'B, nên AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BC).

IV. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường yêu cầu:

Xác định điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Vận dụng các định lý và tính chất liên quan để giải quyết các bài toán thực tế.

V. Lời khuyên khi học bài

Để học tốt bài này, bạn nên:

Nắm vững các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng.
Hiểu rõ điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và tư duy.
Sử dụng hình vẽ để minh họa và trực quan hóa các bài toán.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tốt!