Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Cánh diều: Tổng quan

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là khi nghiên cứu về hàm số bậc hai và đồ thị của chúng. Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có ý nghĩa lớn trong việc giải các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số, và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xét đến hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

3. Các trường hợp xét dấu

Trường hợp 1: a > 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương hoặc bằng 0 với mọi x.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
- f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.

Trường hợp 2: a < 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm hoặc bằng 0 với mọi x.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
- f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức đổi dấu qua hai nghiệm x₁ = 1/2 và x₂ = 2.

Do a = 2 > 0, ta có: