Bài 3. Định lí Viète

Bài 3. Định lí Viète - SGK Toán 9 - Chân trời sáng tạo: Giải thích chi tiết và ứng dụng

Bài 3 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc nghiên cứu Định lí Viète, một công cụ quan trọng trong việc giải phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về định lí này, bao gồm nội dung, chứng minh, và các ứng dụng thực tế.

1. Nội dung Định lí Viète

Định lí Viète khẳng định mối quan hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và các nghiệm của nó. Cụ thể, cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0), nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, thì:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Định lí này không chỉ giúp chúng ta tìm ra mối liên hệ giữa các nghiệm và hệ số mà còn hỗ trợ trong việc kiểm tra lại kết quả giải phương trình.

2. Chứng minh Định lí Viète

Chứng minh định lí Viète dựa trên công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂, được tính theo công thức:

x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a

x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

Khi đó:

x₁ + x₂ = [(-b + √(b² - 4ac)) / 2a] + [(-b - √(b² - 4ac)) / 2a] = -2b / 2a = -b/a

x₁ * x₂ = [(-b + √(b² - 4ac)) / 2a] * [(-b - √(b² - 4ac)) / 2a] = (b² - (b² - 4ac)) / 4a² = 4ac / 4a² = c/a

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lí Viète.

3. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Một số ứng dụng tiêu biểu:

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của chúng: Nếu chúng ta biết tổng và tích của hai nghiệm, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra hai nghiệm đó bằng cách giải hệ phương trình.
Kiểm tra nghiệm của phương trình bậc hai: Sau khi giải phương trình, chúng ta có thể sử dụng định lí Viète để kiểm tra xem các nghiệm tìm được có đúng hay không.
Xây dựng phương trình bậc hai khi biết nghiệm: Nếu chúng ta biết hai nghiệm của phương trình, chúng ta có thể xây dựng phương trình bậc hai tương ứng bằng cách sử dụng định lí Viète.
Giải các bài toán liên quan đến hệ số của phương trình bậc hai: Định lí Viète có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến việc tìm các hệ số của phương trình bậc hai khi biết các thông tin khác.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5

x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x² + 3x - 5 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = -3/2

x₁ * x₂ = -5/2

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về định lí Viète, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình x² + 4x - 5 = 0.
Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình 3x² - 7x + 2 = 0.
Xây dựng một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và -3.
Cho phương trình x² - (m+1)x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x₁ + x₂ = 3.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Định lí Viète và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Chúc các em học tập tốt!