Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11: Tổng quan và lý thuyết

Bài 3 trong chương trình Toán 11 tập 1, thuộc chương 3 về Giới hạn - Hàm số liên tục, tập trung vào việc nghiên cứu về hàm số liên tục. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn về sau.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định.
lim_x→x₀ f(x) tồn tại.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

Nói cách khác, một hàm số liên tục tại một điểm nếu đồ thị của nó không bị đứt gãy tại điểm đó.

2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục cơ bản

Một số hàm số được coi là liên tục trên toàn bộ tập xác định của chúng, bao gồm:

Hàm đa thức.
Hàm phân thức (trừ các điểm làm mẫu số bằng 0).
Hàm lượng giác (sin, cos).
Hàm căn thức (với điều kiện biểu thức dưới dấu căn không âm).

Các tính chất của hàm số liên tục

Hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng, giúp chúng ta trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục (trừ các điểm làm mẫu số bằng 0).
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Trong vật lý: mô tả sự biến đổi liên tục của các đại lượng vật lý.
Trong kinh tế: mô tả sự thay đổi liên tục của các yếu tố kinh tế.
Trong kỹ thuật: mô tả các quá trình liên tục trong các hệ thống kỹ thuật.

Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh rằng hàm số này liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Giải: Hàm số f(x) = x² + 1 là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực. Điều này có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm x₀ thuộc tập số thực.

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào?

Giải: Hàm số f(x) = 1/x là một hàm phân thức. Nó liên tục trên khoảng (-∞; 0) và (0; +∞). Tại x = 0, hàm số không xác định, do đó nó không liên tục tại điểm này.

Kết luận

Bài 3. Hàm số liên tục là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về hàm số liên tục sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về giải tích và có thể áp dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.