Bài 3.11 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3.11 trang 79 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0} = 3\).
Đề bài
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0} = 3\).
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{x - 3}}\,\,\,khi\,\,\,x \ne 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 3\\{x^2} - 4x + 3\,\,\,khi\,\,x \ge 3\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Đây là giới hạn tại điểm dạng vô định \(\frac{0}{0}\) nên phải thực hiện khử mẫu
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên ta thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định
b, Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đều là hàm đa thức nên khi tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) ta chỉ cần thay \(x = {x_0}\) vào hàm số \(f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a, Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 3\) thì \(f\left( 3 \right) = 9\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2}} \right) = {3^2} = 9 = f\left( 3 \right)\)
Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\)
b)Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 3 \Rightarrow f\left( 3 \right) = {3^3} - 4.3 + 3 = 0\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 3 + 1 = - 2\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = {3^2} - 4.3 + 3 = 0\)
Suy ra, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\) vì \(0 \ne - 2\) do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 3\)
Bài 3.11 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, cũng như cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 3.11 thường yêu cầu học sinh tìm cực trị của một hàm số cho trước. Hàm số có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc hàm lượng giác. Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số cần xét là f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Việc tìm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để củng cố kiến thức về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Hãy nhớ áp dụng các bước giải đã trình bày ở trên và kiểm tra lại kết quả của mình.
Bài 3.11 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và thực hành giải nhiều bài tập, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
