Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta phân tích sự lồi lõm, điểm uốn và các đặc điểm quan trọng khác của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một f'(x), và f'(x) có đạo hàm, thì đạo hàm của f'(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích hàm số:

Độ lồi lõm của đồ thị:
- Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
- Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
Điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc từ lõm sang lồi. Tại điểm uốn, f''(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, nếu s(t) là hàm vị trí của một vật thể theo thời gian t, thì v(t) = s'(t) là vận tốc và a(t) = v'(t) = s''(t) là gia tốc.

3. Các quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cấp một một cách tuần tự:

Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu:(u ± v)'' = u'' ± v''
Quy tắc đạo hàm của tích:(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
Quy tắc đạo hàm của thương:(u/v)'' = (u''v - 2u'v' + uv'') / v²
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp:(f(g(x)))'' = f''(g(x)) * g'(x)² + f'(g(x)) * g''(x)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1

y' = 3x² + 4x - 5

y'' = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)

y' = 2cos(2x)

y'' = -4sin(2x)

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x⁴ - 3x² + 7
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos(x)
Tìm điểm uốn của hàm số y = x³ - 6x² + 9x + 1

6. Kết luận

Đạo hàm cấp hai là một công cụ quan trọng trong việc phân tích hàm số và giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa, vật lý và nhiều lĩnh vực khác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp hai sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm trong giải tích và ứng dụng chúng vào thực tế.