Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình SGK Toán 11 tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, công thức và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về đạo hàm cấp hai và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả và thú vị. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của đạo hàm cấp hai!
A. Lý thuyết 1. Đạo hàm cấp hai
A. Lý thuyết
1. Đạo hàm cấp hai
| Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với mọi \(x \in (a;b)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x). |
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
| Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t), tức là a(t) = s’’(t). |
B. Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} + \ln x\).
b) \(y = {\sin ^2}x\).
Giải:
a) Với x = 0, ta có \(y' = 4{x^3} + \frac{1}{x}\); \(y'' = \left( {4{x^3} + \frac{1}{x}} \right)' = 12{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\).
b) \(y' = 2\sin x\cos x = \sin 2x\); \(y'' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x\).
Bài 2: Một vật chuyển động thẳng với phương trình \(s(t) = {t^3} + t\). Tính gia tốc của vật chuyển động thẳng tại các thời điểm \({t_1} = 2\) và \({t_2} = 3\). Ở thời điểm nào trong hai thời điểm trên, vật tăng tốc nhanh hơn?
Giải:
Ta có \(s'(t) = 3{t^2} + 1\), \(a(t) = s''(t) = 6t\).
\(a({t_1}) = a(2) = 12\) (m/s); \(a({t_2}) = a(3) = 18\) (m/s).
Vì \(a({t_2}) > a({t_1})\) nên tại thời điểm \({t_2} = 3\) vật tăng tốc nhanh hơn.
Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) có đạo hàm, đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.
Công thức tính đạo hàm cấp hai:
f''(x) = (f'(x))'
Đạo hàm cấp hai cho ta biết về:
Các quy tắc tính đạo hàm cấp hai tương tự như quy tắc tính đạo hàm cấp một, chỉ cần áp dụng đạo hàm một lần nữa:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1
Giải:
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)
Giải:
Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng trong:
Hãy tự luyện tập với các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
