Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Hàm số lượng giác và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán liên quan đến tìm tập xác định, tập giá trị, và tính chất của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
Đề bài
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right);\)
b) \(\cos 2\alpha ;\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right);\)
d) \(\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác để tính \(\cos \alpha ,\tan \alpha \). Áp dụng các công thức nhân đôi, công thức cộng để tính các giá trị lượng giác bài yêu cầu.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}}\\ \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {35} }}{6}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {35} }}\end{array}\)
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{1}{6}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {105} - 1}}{{12}}\)
b) \(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}} - {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{{17}}{{18}}\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt {35} }}}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {35} }}}} = \frac{{18 - \sqrt {35} }}{{17}}\)
d) \({\cos ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\cos \alpha + 1}}{2} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {35} }}{6} + 1}}{2} = \frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}\)
Mà \(\frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = - \sqrt {\frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}} \)
Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = 2cos(x) - 1 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Tập xác định:
Hàm số f(x) = 2cos(x) - 1 là hàm số lượng giác cơ bản. Hàm cosin có tập xác định là tập số thực R. Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = R.
2. Tập giá trị:
Hàm cosin có giá trị trong khoảng [-1, 1]. Do đó, -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Nhân cả ba vế với 2, ta được -2 ≤ 2cos(x) ≤ 2. Cuối cùng, trừ 1 từ cả ba vế, ta có -3 ≤ 2cos(x) - 1 ≤ 1. Vậy tập giá trị của hàm số f(x) là [-3, 1].
3. Tính chẵn lẻ:
Để xét tính chẵn lẻ, ta tính f(-x):
f(-x) = 2cos(-x) - 1 = 2cos(x) - 1 = f(x)
Vì f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định, nên hàm số f(x) là hàm số chẵn.
4. Vẽ đồ thị:
Đồ thị của hàm số f(x) = 2cos(x) - 1 là đồ thị hàm cosin cơ bản bị giãn theo phương thẳng đứng với hệ số 2 và dịch chuyển xuống dưới 1 đơn vị. Đồ thị hàm số có các đặc điểm sau:
Để vẽ đồ thị chính xác, bạn có thể sử dụng các phần mềm vẽ đồ thị hàm số hoặc vẽ bằng tay dựa trên các điểm đặc biệt đã xác định.
Khi giải các bài tập về hàm số lượng giác, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Việc hiểu rõ các khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng và chính xác.
Ngoài ra, bạn nên luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.
Giaibaitoan.com hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúc các bạn học tốt!
