Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1

Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, điều kiện vuông góc và ứng dụng trong hình học.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2},\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\) có giới hạn là

Đề bài

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2},\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\) có giới hạn là

A. \( - \frac{1}{2}.\)

B. \(\frac{1}{2}.\)

C. \( - 1.\)

D. \(1.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

Tổng có \(n\) số tự nhiên đầu tiên là \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Đây là giới hạn của dãy số, thực hiện bằng cách chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {n + 2} \right)}} - \frac{n}{2} = \frac{{ - n}}{{2\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{ - n}}{{2n + 4}}\)

Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{ - n}}{{2n + 4}} = \lim \frac{{ - 1}}{{2 + \frac{4}{n}}} = - \frac{1}{2}\)

Đáp án A

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 - Giải chi tiết

Bài 3.24 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ. Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

Tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ \vec{a} = (a_1; a_2)\) và \vec{b} = (b_1; b_2)\, tích vô hướng của \vec{a}\) và \vec{b}\) được tính bằng công thức: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\.
Góc giữa hai vectơ: Góc \theta\ giữa hai vectơ \vec{a}\) và \vec{b}\) được tính bằng công thức: \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}\.
Điều kiện vuông góc: Hai vectơ \vec{a}\) và \vec{b}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\.

Phân tích bài toán: Bài 3.24 thường đưa ra các điểm trong mặt phẳng và yêu cầu tìm góc giữa các đoạn thẳng nối các điểm đó, hoặc xác định xem các đoạn thẳng có vuông góc với nhau hay không. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:

Tìm vectơ: Xác định các vectơ cần thiết từ các điểm đã cho.
Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của các vectơ.
Tính góc: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ để tìm góc cần tìm.
Kiểm tra điều kiện vuông góc: Kiểm tra xem tích vô hướng của các vectơ có bằng 0 hay không để xác định xem các đoạn thẳng có vuông góc với nhau hay không.

Ví dụ minh họa: Giả sử bài toán yêu cầu tìm góc giữa hai vectơ \vec{a} = (1; 2)\ và \vec{b} = (-3; 1)\. Ta thực hiện như sau:

Tính tích vô hướng:\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-3) + (2)(1) = -3 + 2 = -1\.
Tính độ dài các vectơ:||\vec{a}|| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\ và ||\vec{b}|| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}\.
Tính góc:\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{10}\. Suy ra \theta = \arccos(\frac{-\sqrt{2}}{10})\.

Lưu ý: Khi giải bài toán liên quan đến tích vô hướng, cần chú ý đến dấu của tích vô hướng để xác định góc nhọn hay góc tù. Nếu tích vô hướng dương, góc giữa hai vectơ nhọn. Nếu tích vô hướng âm, góc giữa hai vectơ tù. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc với nhau.

Bài tập tương tự: Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các đề thi thử Toán 11. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Kết luận: Bài 3.24 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Bằng cách nắm vững các khái niệm và công thức, cùng với việc luyện tập thường xuyên, các em có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng và hiệu quả.

Các chủ đề liên quan: