Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Lũy thừa - SGK Toán 11 của giaibaitoan.com. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán học lớp 11, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai.
Chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu, cùng với các bài tập đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến lũy thừa.
A. Lý thuyết 1. Lũy thừa với số mũ nguyên
A. Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. - Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. \({a^n} = a.a...a\) (n thừa số a). - Với \(a \ne 0\): \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\). |
Trong biểu thức \({a^n}\), ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.
Lưu ý:
- Với \(a \ne 0\) thì \({a^0} = 1\).
- \({0^0}\) với \({0^{ - n}}\) với \(n \in \mathbb{N}\) không có nghĩa.
Cho a, b là các số thực khác 0 và với các số nguyên m, n, ta có: +) \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) +) \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\) +) \({({a^m})^n} = {a^{m.n}}\) +) \({(a.b)^m} = {a^m}.{b^m}\) +) \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\) |
2. Lúy thừa với số mũ hữu tỉ
| Cho số thực b và số nguyên dương n \((n \ge 2)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\). |
Lưu ý:
- Với n lẻ và \(b \in \mathbb{R}\), có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
- Với n chẵn và:
+ b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.
+ b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu, giá trị dương kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{b}\).
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\). Lũy thừa của số a với số mũ r, kí hiệu \({a^r}\) xác định bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\). |
Lưu ý : \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) với a > 0 và \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\).
| Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. |
3. Lũy thừa với số mũ thực
Cho số thực a dương và số vô tỉ \(\alpha \), trong đó \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\) với \(({r_n})\) là một dãy số hữu tỉ. Giới hạn của dãy số \(({a^{{r_n}}})\) gọi là lũy thừa của số a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu \({a^\alpha }\). \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\). |
Lưu ý:
- Từ định nghĩa, ta có \({1^\alpha } = 1\) \((\alpha \in \mathbb{R})\).
- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số khác 0.
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
| Lũy thừa với số mũ thực dương có các tính chất tương tự lũy thừa vơi số mũ nguyên. |
B. Bài tập
Bài 1:
a) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn giá trị biểu thức:
\(A = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} + {(0,2)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}{.128^{ - 1}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 9}}\).
b) Rút gọn biểu thức: \(B = \left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{{{{(1 + {a^2})}^{ - 1}}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{{a^{ - 1}}}}} \right].\frac{{{a^{ - 1}}}}{{1 - {a^{ - 2}}}}\) \((a \ne 0,a \ne 1,a \ne - 1)\).
Giải:
a) \(A = {({3^{ - 1}})^{ - 10}}.{({3^3})^{ - 3}} + {({5^{ - 1}})^{ - 4}}.{({5^2})^{ - 2}} + {({2^7})^{ - 1}}.{({2^{ - 1}})^{ - 9}}\)
\( = {3^{10}}{.3^{ - 9}} + {5^4}{.5^{ - 4}} + {2^{ - 7}}{.2^9}\)
\( = {3^1} + {5^0} + {2^2} = 8\).
b) \(B = \left[ {a\sqrt 2 (1 + {a^2}) - 2\sqrt 2 a} \right].\frac{1}{{{a^3}(1 - {a^{ - 2}})}}\)
\( = (a\sqrt 2 + {a^3}\sqrt 2 - 2a\sqrt 2 ).\frac{1}{{{a^3} - a}}\)
\( = a\sqrt 2 ({a^2} - 1).\frac{1}{{a({a^2} - 1)}} = \sqrt 2 \).
Bài 2:
a) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}}\).
b) Rút gọn biểu thức \(C = \frac{{{x^{\frac{6}{5}}}y + x{y^{\frac{6}{5}}}}}{{\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}}}\) (x > 0, y > 0).
Giải:
a) Ta có \({\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{27}}}} = \frac{1}{3}\); \({9^{ - \frac{3}{2}}} = \sqrt {{9^{ - 3}}} = \sqrt {\frac{1}{{{9^3}}}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} } \right)^3} = \frac{1}{{27}}\).
Vậy \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{27}} = \frac{{10}}{{27}}\).
b) Với x, y là các số dương, theo định nghĩa, ta có \(C = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}}} = xy\).
Bài 3: Rút gọn biểu thức \(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 5 }}}}{{{{({a^{\sqrt 7 - 3}})}^{\sqrt 7 + 3}}}}\) (a > 0).
Giải:
\(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(\sqrt 7 - 3)(}}^{\sqrt 7 + 3)}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\).
Lũy thừa là một phép toán cơ bản trong toán học, thể hiện việc một số được nhân với chính nó một số lần nhất định. Trong chương trình SGK Toán 11, phần Lý thuyết Lũy thừa tập trung vào việc xây dựng các khái niệm, tính chất và ứng dụng của lũy thừa, đặc biệt là lũy thừa với số mũ nguyên và lũy thừa với số mũ thực.
Với a là một số thực và n là một số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an, là tích của n thừa số bằng a:
an = a × a × a × ... × a (n thừa số)
Trong đó:
Phần này trình bày các tính chất quan trọng của lũy thừa, giúp đơn giản hóa các biểu thức và giải quyết các bài toán liên quan. Một số tính chất cơ bản bao gồm:
SGK Toán 11 mở rộng khái niệm lũy thừa sang số mũ thực. Điều này đòi hỏi việc hiểu rõ về căn bậc n và mối liên hệ giữa lũy thừa và căn.
Định nghĩa: Với a > 0 và α là một số thực, lũy thừa của a với số mũ α, ký hiệu là aα, là một số duy nhất thỏa mãn:
aα = eα ln(a)
Trong đó e là cơ số của logarit tự nhiên (e ≈ 2.71828) và ln(a) là logarit tự nhiên của a.
Trong SGK Toán 11 và các bài kiểm tra, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:
Để nắm vững kiến thức về Lý thuyết Lũy thừa - SGK Toán 11, bạn nên:
Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong môn Toán 11. Chúc bạn thành công!
