Bài 4.31 thuộc chương 3: Hàm số bậc hai của SGK Toán 11 tập 1. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các yếu tố liên quan để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trên AA', AB, DC sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trên AA', AB, DC sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).
a) Chứng minh mặt phẳng (MNP) song song với (A'BC).
b) Gọi Q là giao điểm của AC' với (MNP). Xét vị trí tương đối của MQ và A'C.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với (Q) thì (P) // (Q).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P):
+ Bước 1: Chọn 1 mặt phẳng (Q) chứa a. Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)
+ Bước 2: Tìm giao điểm I của a và d. I chính là giao điểm của a và (P).
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác ABA' có \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) nên MN // A'B. Suy ra MN // (A'BC) (1)
Xét hình bình hành ABCD có \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\) nên NP // BC. Suy ra NP // (A'BC) (2)
Từ (1), (2) suy ra (MNP) // (A'BC)
b) Trong (ABB'A'), gọi E là giao điểm của AB' và MN
Suy ra E là điểm chung của (AB'C') và (MNP). Mà NP // B'C' (cùng // BC)
Qua E kẻ đường thẳng d song song với NP và B'C', cắt EP tại F. Suy ra EF là giao tuyến của (MNP) và (AB'C')
Trong (AB'C'), gọi Q là giao điểm của EF và AC'
Vậy Q là giao điểm của AC' và (MNP)
Trong (ABB'A'), gọi O là giao điểm của A'B và AB'
Xét tam giác ABO có NE // BO nên \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{1}{3}\)
Ta có: AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành
Trong (AA'C'C), gọi G là giao điểm của AC' và A'C. Suy ra G là trung điểm của AC' và A'C
Xét tam giác AB'C' có O, G là trung điểm của AB', AC' nên OG // B'C'. Suy ra OG // NQ \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3}\)
Xét tam giác AA'G có: \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MQ\,{\rm{// }}A'G\) hay MQ // A'C.
Bài 4.31 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = -2x2 + 8x - 5 và thực hiện các yêu cầu sau:
Hàm số f(x) = -2x2 + 8x - 5 có các hệ số:
Hoành độ đỉnh của parabol là x0 = -b / (2a) = -8 / (2 * -2) = 2.
Tung độ đỉnh của parabol là y0 = f(x0) = f(2) = -2 * (2)2 + 8 * 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3.
Vậy, đỉnh của parabol là I(2; 3).
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x0 = x = 2.
Vì a = -2 < 0, parabol có hướng mở xuống. Do đó:
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định một số điểm thuộc đồ thị. Ví dụ:
Vẽ parabol đi qua các điểm A, B, I, C, D và có trục đối xứng là x = 2.
Thông qua việc giải bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1, chúng ta đã củng cố kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm cách xác định các hệ số, đỉnh, trục đối xứng, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị của hàm số. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai trong chương trình Toán 11.
Để luyện tập thêm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Khi giải các bài tập về hàm số bậc hai, cần chú ý đến dấu của hệ số a để xác định hướng mở của parabol và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
| Hệ số | Giá trị |
|---|---|
| a | -2 |
| b | 8 |
| c | -5 |
| Bảng tổng hợp các hệ số của hàm số | |
