Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 1 thường xoay quanh các kiến thức cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các công thức, định lý là vô cùng quan trọng.
Cho dãy số (({u_n})) được xác định bởi ({u_n} = frac{1}{n})
Cho dãy số (\({u_n}\)) được xác định bởi \({u_n} = \frac{1}{n}\)
a, Tính giá trị của \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\)và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:
b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.
c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.
Phương pháp giải:
a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức \({u_n} = \frac{1}{n}\) để được các giá trị tương ứng \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\).
b, Khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 là giá trị của \({u_n}\).
Khi n tăng thì giá trị \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng gần nhau hơn.
Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
c, 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({u_1} = \frac{1}{1} = 1\), \({u_2} = \frac{1}{2}\), \({u_3} = \frac{1}{3}\), \({u_4} = \frac{1}{4}\), \({u_{10}} = \frac{1}{{10}}\).
Biểu diễn trên trục số:
b, Khi n tăng thì \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ khi n tăng.
c, Ta có : 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01. Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.
Tương tự:
0,001= \(\frac{1}{{1000}}\)=\({u_{1000}}\)
Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001.
0,00001=\(\frac{1}{{100000}} = {u_{100000}}\).
Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,00001.
Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)
a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào?
Phương pháp giải:
a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) để được năm số hạng đầu tiên của dãy.
\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
b, Khi n càng tăng thì giá trị \({u_n}\) càng nhỏ. Do đó, khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có :
\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}\).
b, Khi n càng tăng thì khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.
Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\). Xét dãy số (\({v_n}\)) với \({v_n} = {u_n} - 3\). Viết công thức tính số hạng tổng quát \({v_n}\)và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Phương pháp giải:
Thay \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\) vào công thức \({v_n} = {u_n} - 3\) để được số hạng tổng quát của \({v_n}\).
Sử dụng phần lưu ý mục 1 là \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\) để tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({v_n} = {u_n} - 3\)= \(\frac{{3n + 1}}{n} - 3 = \frac{{3n + 1 - 3n}}{n} = \frac{1}{n}\).
Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} = - 4\).
Phương pháp giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right]\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} + 4} \right)\)
=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{1 - 4{n^2} + 4{n^2}}}{{{n^2}}})\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} = - 4\).
a, Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\)
b, So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) và \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).
Phương pháp giải:
a, Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).
b, Tính \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\) và sử dụng kết quả câu a để so sánh.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6)\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{6{n^3} + 1 - 6{n^3}}}{{{n^3}}}} \right)\)
= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\).
b, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 = 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)
Do đó: \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\)= 6
Vậy: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) = \((\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).
Tìm \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) và \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)
Phương pháp giải:
Tính \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\)
Tính \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}} = \frac{{6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}}}{{2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}}}\)
Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên:
\(\lim (6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0\) và \(\lim (2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}) = 2 + 9.0 = 2\)
Vậy \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) \( = 0\).
Ta có: \(\frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) = \(\frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{4}{6})}^n}}} = \frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{2}{3})}^n}}}\)
Vì \(\lim {(\frac{5}{6})^n} = 0\); \(\lim {(\frac{2}{3})^n} = 0\); \(\lim 2 = 2\); \(\lim 1 = 1\) nên :
\(\lim \left[ {{{(\frac{5}{6})}^n} + 2} \right] = 2\)và \(\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = 1\)
Vậy \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)= 2.
1.Chứng minh rằng dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) và \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\) là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.
2.Cho cấp số nhân (\({u_n}\)) có công bội q. ( \(\left| q \right| < 1\))
a, Viết công thức tính tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q.
b, Nếu quy ước S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\), hãy tính S theo \({u_1}\) và q.
Phương pháp giải:
1.Tìm công bội q của dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) để chứng minh là cấp số nhân
2. a, Viết công thức tính \({S_n}\) của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
b, Dựa vào lim\({q^n} = 0\), tính lim \({S_n}\).
Lời giải chi tiết:
1.Chứng minh dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân
Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\frac{1}{2})^{n + 1}}\) ; \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)
\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}}}{{{{(\frac{1}{2})}^n}}} = \frac{1}{2}\)
Vậy dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân với công bội q=\(\frac{1}{2}\).
Chứng minh dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân
Ta có: \({v_{n + 1}} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^{n + 1}}\); \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\)
\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^{n + 1}}}}{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^n}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)
Vậy dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{{ - 2}}{3}\).
2. a, Tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q là: \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
b, S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\)= \(\lim \frac{{{u_1}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)
Ta có lim \({q^n} = 0\)( với \(\left| q \right| < 1\)) \( \Rightarrow \lim (1 - {q^n}) = 1\), lim \({u_1} = {u_1}\), lim (1-q)=1-q
lim\({S_n} = \)\(\frac{{1.{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\)
Phương pháp giải:
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\) .Áp dụng công thức S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) để tính tổng.
Lời giải chi tiết:
Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\).
S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)=\(\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\).
Mục 1 của SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc ôn lại kiến thức về dãy số và giới thiệu về cấp số cộng, cấp số nhân. Các bài tập từ trang 59 đến trang 62 thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức để tính số hạng tổng quát, tổng của n số hạng đầu, và xác định xem một dãy số có phải là cấp số hay không.
Các bài tập trong phần này thường yêu cầu học sinh xác định số hạng tổng quát của dãy số, tìm số hạng thứ n, và chứng minh một số tính chất của dãy số. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm số hạng thứ 10 của dãy số (un) = 2n + 1.
Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Các bài tập về cấp số cộng thường yêu cầu học sinh tính công sai, số hạng tổng quát, và tổng của n số hạng đầu. Công thức quan trọng cần nhớ là:
Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm số hạng thứ 20 của cấp số cộng có u1 = 2 và d = 3.
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó thương giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Các bài tập về cấp số nhân thường yêu cầu học sinh tính công bội, số hạng tổng quát, và tổng của n số hạng đầu. Công thức quan trọng cần nhớ là:
Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân có u1 = 1 và q = 2.
Bài tập: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u1 = 3 và d = 2.
Giải:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: un = u1 + (n-1)d
Thay u1 = 3, d = 2, và n = 10 vào công thức, ta được:
u10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 9 * 2 = 3 + 18 = 21
Vậy, số hạng thứ 10 của cấp số cộng là 21.
Để học tốt môn Toán 11, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản, luyện tập thường xuyên, và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| un = u1 + (n-1)d | Số hạng tổng quát của cấp số cộng |
| Sn = n/2 * (u1 + un) | Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng |
| un = u1 * q(n-1) | Số hạng tổng quát của cấp số nhân |
| Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q) | Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân (q ≠ 1) |
