Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 1 thường xoay quanh các chủ đề về phép vectơ, các phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc hiểu rõ các khái niệm và phương pháp giải bài tập trong mục này là rất quan trọng để xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức tiếp theo.
Tính sin và côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x trong các trường hợp sau:
Tính sin và côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x trong các trường hợp sau:
\(x = \frac{\pi }{2};x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{11\pi }}{3};x = - 2,5.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay tính \(\sin \frac{\pi }{2},\cos \frac{\pi }{2},\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right),\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right),\sin \frac{{11\pi }}{3},\cos \frac{{11\pi }}{3},\sin \left( { - 2,5} \right),\cos \left( { - 2,5} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos \frac{\pi }{2} = 0,\sin \frac{\pi }{2} = 1\\\cos \frac{{ - \pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\sin \frac{{ - \pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\cos \frac{{11\pi }}{3} = \frac{1}{2},\sin \frac{{11\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \left( { - 2,5} \right) \approx - 0,8,\sin \left( { - 2,5} \right) = - 0,6\end{array}\)
Tính giá trị của hàm số \(y = \sin x\) và hàm số \(y = \cos x\) khi \(x = \frac{{3\pi }}{2};x = - \frac{{11\pi }}{4};x = \frac{{14\pi }}{3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay tính \(\sin \frac{{3\pi }}{2},\cos \frac{{3\pi }}{2},\sin \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right),\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right),\sin \frac{{14\pi }}{3},\cos \frac{{14\pi }}{3}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0,y = \sin \frac{{3\pi }}{2} = - 1\\y = \cos \frac{{ - 11\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},y = \sin \frac{{ - 11\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\y = \cos \frac{{14\pi }}{3} = - \frac{1}{2},y = \sin \frac{{14\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Phương trình li độ của một vật dao động điều hòa có dạng: \(x = - 6\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó x (cm) là li độ của vật (hay độ dời của vật so với vị trí cân bằng) tại thời điểm t (giây). Tính li độ của vật tại thời điểm t = 3 giây.
Phương pháp giải:
Thay t = 3 vào phương trình li độ.
Lời giải chi tiết:
Thay t = 3 vào phương trình li độ, ta có:
\(x = - 6\cos \left( {\pi .3 + \frac{\pi }{6}} \right) = - 6\cos \left( {\frac{{19\pi }}{6}} \right) = 3\sqrt 3 \)
Vậy li độ tại thời điểm t = 3 giây là \(3\sqrt 3 \)(cm).
Tính tang và côtang của góc lượng giác có số đo bằng x trong các trường hợp sau:
\(x = \frac{{7\pi }}{3};x = - \frac{{5\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{6};x = - 3.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay tính \(\tan \frac{{7\pi }}{3},\cot \frac{{7\pi }}{3},\tan \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right),\cot \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right),\tan \frac{{11\pi }}{6},\cot \frac{{11\pi }}{6},\tan \left( { - 3} \right),\cot \left( { - 3} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\tan \frac{{7\pi }}{3} = \sqrt 3 ,\cot \frac{{7\pi }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\tan \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = - 1,\cot \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = - 1\\\tan \frac{{11\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{11\pi }}{6} = - \sqrt 3 \\\tan \left( { - 3} \right) \approx 0,14;\cot \left( { - 3} \right) \approx 7,02\end{array}\)
Tính giá trị của hàm số \(y = \tan x\) và hàm số \(y = \cot x\) khi \(x = \frac{{13\pi }}{3};x = - \frac{{9\pi }}{4};x = \frac{{19\pi }}{6}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay tính \(\tan \frac{{13\pi }}{3},\cot \frac{{13\pi }}{3},\tan \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right),\cot \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right),\tan \frac{{19\pi }}{6},\cot \frac{{19\pi }}{6}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\tan \frac{{13\pi }}{3} = \sqrt 3 ,\cot \frac{{13\pi }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\tan \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right) = - 1,\cot \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right) = - 1\\\tan \frac{{19\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{19\pi }}{6} = \sqrt 3 \end{array}\)
a) So sánh các giá trị \(\sin x\) và \(\sin \left( { - x} \right)\), \(\cos x\) và \(\cos \left( { - x} \right)\).
b) So sánh các giá trị \(\tan x\) và \(\tan \left( { - x} \right)\) khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) So sánh các giá trị \(\cot x\) và \(\cot \left( { - x} \right)\) khi \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức lượng giác giữa 2 góc đối nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}\sin \left( { - x} \right) = - \sin x\\\cos \left( { - x} \right) = \cos x\end{array}\)
b) \(\tan \left( { - x} \right) = - \tan x\)
c) \(\cot \left( { - x} \right) = \cot x\)
Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x - \tan x.\)
Phương pháp giải:
So sánh\(f\left( { - x} \right)\) và \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\end{array}\)
\(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) - \tan \left( { - x} \right) = - \sin x + \tan x = - \left( {\sin x - \tan x} \right) = - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Tìm một số \(T \ne 0\) sao cho \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sin x;\)
b) \(f\left( x \right) = \cos x;\)
c) \(f\left( x \right) = \tan x;\)
d) \(f\left( x \right) = \cot x.\)
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}\)
Tìm ra T, từ đó chứng minh \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow x + 2\pi \in D,x - 2\pi \in D\\f\left( {x + 2\pi } \right) = \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x = f\left( x \right)\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow x + 2\pi \in D,x - 2\pi \in D\\f\left( {x + 2\pi } \right) = \cos \left( {x + 2\pi } \right) = \cos x = f\left( x \right)\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = \tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x = f\left( x \right)\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = \cot \left( {x + \pi } \right) = \cot x = f\left( x \right)\end{array}\)
Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right) = 1 - \cot x\) là hàm số tuần hoàn.
Phương pháp giải:
Chỉ ra \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) với T khác 0 là chu kì tuần hoàn.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = 1 - \cot \left( {x + \pi } \right) = 1 - \cot x = f\left( x \right)\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn.
Mục 2 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực), và các tính chất của các phép toán này. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong hình học và vật lý.
Các bài tập trên trang 22 thường yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa vectơ và các phép toán cộng, trừ vectơ để giải quyết các bài toán đơn giản. Ví dụ, cho hai vectơ a và b, hãy tìm vectơ a + b hoặc a - b.
Trang 23 tập trung vào việc kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các phép toán trên vectơ. Các bài tập thường yêu cầu chứng minh đẳng thức vectơ hoặc rút gọn biểu thức vectơ.
Các bài tập trên trang 24 yêu cầu học sinh xác định xem hai vectơ có bằng nhau hay không dựa trên độ dài và hướng của chúng. Điều này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ định nghĩa vectơ bằng nhau và biết cách so sánh hai vectơ.
Trang 25 thường chứa các bài tập ứng dụng vectơ vào giải quyết các bài toán hình học đơn giản. Ví dụ, cho tam giác ABC, hãy tìm vectơ AB + AC.
Bài toán: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 1). Hãy tìm vectơ 2a - b.
Giải:
2a = (2 * 1; 2 * 2) = (2; 4)
2a - b = (2; 4) - (-3; 1) = (2 - (-3); 4 - 1) = (5; 3)
Vậy, 2a - b = (5; 3).
Để học tốt môn Toán 11, các em cần nắm vững các khái niệm cơ bản, luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
