Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11. Bài viết này được thiết kế để cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các quy tắc quan trọng nhất, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, dễ hiểu và phù hợp với mọi trình độ học sinh.
A. Lý thuyết 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
A. Lý thuyết
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
| Hàm số \(y = {x^n}\) \((n \in {\mathbb{N}^*})\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(({x^n})' = n{x^{n - 1}}\). |
Ghi chú:
+ c’ = 0.
+ x’ = 1.
+ \((\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) \((x \ne 0)\).
+ \(\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0)\).
2. Các quy tắc tính đạo hàm
a) Đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì (u + v)’= u’ + v’; (u – v)’ = u’ – v’. |
b) Đạo hàm của tích, thương hai hàm số
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng xác định thì (u.v)’ = u’v + uv’; \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) \((v = v(x) \ne 0)\). |
Lưu ý:
+ (k.u)’ = ku’ với \(k \in \mathbb{R}\).
+ \(\left( {\frac{k}{v}} \right)' = \frac{{kv'}}{{{v^2}}}\) với \(k \in \mathbb{R}\).
c) Đạo hàm của hàm hợp
* Hàm hợp
Cho hai hàm số f(u) và u = u(x). Hàm số y = f(u(x)) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f(u) và u(x).
* Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x là u’(x) và u = f(u) có đạo hàm tại u là f’(u) thì hàm hợp g(x) = f(u(x)) có đạo hàm tại x là g’(x) = f’(u).u’(x). |
3. Đạo hàm của một số hàm số khác
a) Đạo hàm của hàm số lượng giác
+ (sinx)’ = cosx + (cosx)’ = -sinx + \((\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\) + \((\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\), \(x \ne k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\) |
b) Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Cho a > 0, \(a \ne 1\). + \(({a^x})' = {a^x}\ln a\) + \(({e^x})' = {e^x}\), \(x \in \mathbb{R}\) + \(({\log _a}x)' = \frac{1}{{x\ln a}}\), x > 0 + \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), x > 0 |
B. Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^5} - {x^3} + x - 10\).
Giải:
\(y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' = 5{x^4} - 3{x^2} + 1\).
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}\).
b) \(y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)\).
c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Giải:
a) Với x > 0, ta có \(y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' = 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}\).
b) Với x > 0, ta có \(y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)' = 6{x^2}(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}\).
c) Với \(x \ne - 1\), ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {({x^2} + x)^8}\).
b) \(y = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).
Giải:
a) \(y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' = ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} = 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}\).
b) \(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}\).
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2\sin x - 3\cos x\).
b) \(y = x\tan x\).
c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
d) \(y = {\cos ^3}3x\).
Giải:
a) \(y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' = 2\cos x + 3\sin x\).
b) Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\), ta có \(y = x'.\tan x + x.(\tan x)' = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).
c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
d) \(y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' = - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x = - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x\).
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {3^{2{x^2} - x}}\).
b) \(y = {\log _2}({x^2} + 2x + 3)\).
c) \(y = x{e^x}\).
Giải:
a) \(y' = (2{x^2} - x)'{.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3 = (4x - 1){.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3\).
b) \(y' = \frac{{({x^2} + 2x + 3)'}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}} = \frac{{2x + 2}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}\).
c) \(y' = (x)'{e^x} + x({e^x})' = {e^x} + x{e^x}\).
Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Trong chương trình Toán 11, học sinh sẽ được giới thiệu về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, giúp đơn giản hóa quá trình tìm đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
Các quy tắc tính đạo hàm cho phép chúng ta tìm đạo hàm của các hàm số phức tạp bằng cách kết hợp đạo hàm của các hàm số đơn giản.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
Áp dụng quy tắc cộng và trừ, ta có:
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x2)
Áp dụng quy tắc hàm hợp, ta có:
f'(x) = (sin(x2))' = cos(x2) * (x2)' = cos(x2) * 2x = 2x cos(x2)
Để nắm vững các quy tắc tính đạo hàm, bạn cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế, như tìm cực trị của hàm số, giải các bài toán tối ưu hóa, và nghiên cứu sự biến thiên của hàm số.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| c (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | 1/cos2 x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều ứng dụng thú vị của đạo hàm trong toán học và các lĩnh vực khác.
