Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11 tập 2. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn khám phá và giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 36, 37 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi. Hãy cùng bắt đầu!
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}\)
Chứng minh đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
Lời giải chi tiết:
Với mọi \({x_0} \in (0; + \infty )\) ta có :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x - \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x + \sqrt {{x_0}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)
Suy ra \(y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \({y'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc ôn tập chương trình Giải tích, đặc biệt là các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức, định lý đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số đơn thức, đa thức, và các hàm số phức tạp hơn như hàm hợp, hàm lượng giác. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ:
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị, điểm uốn, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các bước khảo sát hàm số bằng đạo hàm:
Ví dụ:
Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế như bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán tối ưu hóa, và bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc.
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x2 + 4x + 1 trên đoạn [0, 3]
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sin(x) | y' = cos(x) |
| y = cos(x) | y' = -sin(x) |
Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 2. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
